Mengapa distribusi sampel varian merupakan distribusi chi-kuadrat?

Pernyataan

Distribusi sampling dari varian sampel adalah distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan sama dengan , di mana adalah ukuran sampel (mengingat bahwa variabel bunga yang menarik secara normal didistribusikan).$n-1$$n$

Sumber

Intuisi saya

Ini agak masuk akal bagi saya 1) karena tes chi-square terlihat seperti jumlah kuadrat dan 2) karena distribusi Chi-kuadrat hanyalah jumlah dari distribusi normal kuadrat. Tapi tetap saja, saya tidak memiliki pemahaman yang baik tentang itu.

Pertanyaan

Apakah pernyataan itu benar? Mengapa?

[Saya akan berasumsi dari diskusi dalam pertanyaan Anda bahwa Anda senang menerima kenyataan bahwa jika independen variabel terdistribusi secara identik, maka .]N ( 0 , 1 ) ∑ k i = 1 Z 2 i ∼ χ 2 $Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Secara formal, hasil yang Anda butuhkan mengikuti dari teorema Cochran . (Meskipun dapat ditunjukkan dengan cara lain)

Kurang formal, pertimbangkan bahwa jika kita tahu mean populasi, dan memperkirakan varians tentang itu (daripada tentang mean sampel): , lalu , ( ) yang akan menjadi kali a variabel acak.s 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ Zi=(Xi-μ)/σ$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ χ 2 $\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

Fakta bahwa rata-rata sampel digunakan, alih-alih rata-rata populasi ( ) membuat jumlah kuadrat penyimpangan lebih kecil, tetapi hanya sedemikian rupa sehingga (tentang hal itu, lihat teorema Cochran). Karenanya, daripada sekarang kita memiliki .∑ n i = 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 n - $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$