Hubungan antara gamma dan distribusi chi-squared

Jika mana X i ∼ N ( 0 , σ 2 ) , yaitu semua X i iid adalah variabel acak normal nol rata-rata dengan varian yang sama, maka Y ∼ Γ (

$$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$$ $X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$$X_i$ $$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$$

Saya mengetahui distribusi chi-squared adalah kasus khusus dari distribusi gamma, tapi tidak bisa memperoleh distribusi chi-squared untuk variabel acak . Tolong ada bantuan?$Y$

Beberapa latar belakang

The distribusi didefinisikan sebagai distribusi yang hasil dari menjumlahkan kuadrat n variabel acak independen N ( 0 , 1 ) , sehingga: Jika  X 1 , ... , X n ~ N ( 0 , 1 )  dan independen, maka  Y 1 = n ∑ i = 1 X 2 i ∼ χ 2 n , di mana X ∼ $\chi^2_n$$n$$\mathcal{N}(0,1)$

$$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$$ $X\sim Y$menunjukkan bahwa variabel acak dan Y memiliki distribusi yang sama (EDIT: χ 2 n akan menunjukkan distribusi Chi kuadrat dengan n derajat kebebasan dan variabel acak dengan distribusi tersebut ). Sekarang, pdf dari distribusi χ 2 n adalah f χ 2 ( x ; n ) = $X$$Y$$\chi_n^2$$n$$\chi^2_n$ Jadi, memangdistribusi χ 2 n adalah kasus khusus dari distribusi Γ ( p , a ) dengan pdf f Γ ( x ; a , p ) = $$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ $\chi^2_n$$\Gamma(p,a)$ Sekarang jelas bahwa χ 2 n ∼ Γ ( $$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ .$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Kasus Anda

Perbedaan dalam kasus Anda adalah bahwa Anda memiliki variabel normal dengan varian umum σ 2 ≠ 1 . Tapi distribusi yang sama muncul dalam kasus itu: Y 2 = n Σ i = 1 X 2 i = σ 2 n Σ i = 1 ( X $X_i$$\sigma^2\neq1$

$$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$$ $Y$$\chi_n^2$$\sigma^2$$Y_2=\sigma^2Y_1$ $$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$$ $Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$$\sigma^2$$a$

Catatan

$\chi^2_n$$\sigma^2\neq1$$\chi_1^2$$\chi^2_n$