Turunkan kepadatan posterior untuk kemungkinan lognormal dan sebelumnya Jeffreys

Fungsi likelihood dari distribusi lognormal adalah:

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

dan Prioritas Jeffreys adalah:

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

jadi menggabungkan keduanya memberi:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

Saya tahu bahwa kepadatan posterior untuk $\sigma^2$ Gamma terbalik dibagikan, jadi saya harus menghitung

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

tapi saya tidak tahu harus mulai dari mana di sini.

Setelah komentar Glen_b, saya mencobanya:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

tapi saya tidak bisa melihat ini terjadi di mana saja.

Gagasan lain yang saya dapatkan adalah mendefinisikan $y_i=\ln(x_i)$, kemudian $y$terdistribusi normal. Begitu

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

lalu mengintegrasikan:

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

dengan metode yang Anda sarankan saya dapatkan:

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

Begitu:

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

Gamma yang memang terbalik dibagikan.

Tetapi saya tidak yakin apakah ini benar, itu juga hasil yang sama seperti yang saya dapatkan untuk kemungkinan normal.

Saya menemukan ini dalam literatur (tanpa penjelasan lebih lanjut):

Perhatikan bahwa - dianggap sebagai fungsi dalam $\mu$ - Apa yang Anda miliki sebanding dengan kepadatan normal.

Jadi langkah 1 adalah menyelesaikan kotak $\mu$ yang ada dalam eksponen, tarik keluar bagian depan integral dari konstanta berlebihan, dan kemudian gandakan istilah dalam integral dengan konstanta yang diperlukan untuk membuatnya berintegrasi ke 1. Kemudian bagi di depan integral dengan konstanta yang sama (sehingga Anda jangan ubah nilai ekspresi keseluruhan).

Karena Anda memiliki kepadatan di bagian integral, ganti istilah di bagian integral dengan 1.

Anda memiliki fungsi $\sigma$ (salah satu yang secara resmi diganti $\mu$ dengan sesuatu yang mirip dengan perkiraan itu).

Sekarang lihat kepadatan untuk gamma terbalik di sini :

(dalam hal ini, menggunakan parameterisasi bentuk-skala).

Dengan asumsi Anda memiliki yang benar sebelumnya (saya belum memeriksa itu) -

Anda mencari kepadatan posterior $\sigma^2$. Perhatikan bahwa fungsi Anda setelah integrasi dapat ditulis dalam formulir$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$.

Jadi Anda memiliki ekspresi yang sebanding dengan kepadatan gamma terbalik di $\sigma^2$. (Karena itu harus kepadatan, berikan konstanta yang diperlukan yang diperlukan untuk membuatnya berintegrasi ke 1.)