Mengapa orang sering mengoptimalkan faktor penentu

8

Katakanlah saya punya vektor acak YN(Xβ,Σ) dan Σσ2I. Yaitu, elemen dariY (diberikan Xβ) berkorelasi.

Penaksir alami dari β adalah (XΣ1X)1XΣ1Y, dan var(β^)=(XΣ1X)1

Dalam konteks desain, eksperimen dapat mengutak-atik desain yang akan menghasilkan perbedaan X dan Σ dengan demikian berbeda var(β^). Untuk memilih desain yang optimal, saya melihat bahwa orang sering mencoba untuk meminimalkan penentu(XΣ1X)1, apa intuisi di balik ini?

Mengapa tidak, katakanlah, meminimalkan jumlah elemen-elemennya?

qoheleth
sumber

Jawaban:

12

Sebagai kriteria desain, untuk meminimalkan penentu (XΣ1X)1, Yang sama dengan memaksimalkan penentu (XΣ1X), dikenal sebagai desain eksperimental D-optimal. Penentu matriks kovarians dikenal sebagai varian umum, jadi kami meminimalkan varian umum. Fungsionalitas lain dari matriks kovarians dapat digunakan sebagai kriteria, tetapi apa yang Anda usulkan (meminimalkan jumlah elemen-elemennya) tidak masuk akal. Kriteria D-optimality memiliki keuntungan praktis yang besar untuk menjadi invarian di bawah transformasi linear dari variabel regressor, yang merupakan keunggulan praktis yang besar. Invarian berarti bahwa optimalitas tidak dipengaruhi oleh hal-hal seperti pemilihan unit pengukuran, (seperti m atau km ). Dengan kriteria optimalitas non-invarian, hasilnya dapat bergantung pada hal-hal yang tidak relevan seperti pemilihan unit pengukuran.

Jika Anda mencari "D-optimal" di situs ini, Anda akan menemukan posting lain yang relevan!

kjetil b halvorsen
sumber
Jawaban bagus. Mungkin satu hal untuk ditambahkan adalah kriteria A-optimality, yang merupakan jejak dari matriks var-cov, jadi di sini kita meminimalkan jumlah varians. Ini berjalan sedikit ke arah apa yang ditanyakan OP.
Wolfgang
Wolfgang: Ya, tapi jejaknya (A)) - kriteria optimalitas masih belum berubah! Tapi itu bisa digunakan, tanpa peduli ...
kjetil b halvorsen
Benar, poin bagus.
Wolfgang
1
Sejauh yang saya tahu, jawaban ini hanya memberikan satu motivasi untuk desain D-optimal: bahwa itu tidak berubah di bawah transformasi linear. Walaupun ini adalah fitur yang bagus , bagi saya sepertinya tidak terlalu memotivasi mengapa seseorang harus menggunakan D-optimal; banyak metrik lainnya juga invarian di bawah transformasi linear dan terkait dengan pertanyaan nyata yang menarik, seperti meminimalkan varians dari estimator dengan kontras tetap yang menarik. Saya sering bertanya-tanya mengapa orang menggunakan D-optimal dan belum dapat menemukan alasan yang bagus!
Cliff AB
@Cliff AB: Saya akan mencoba menambah jawabannya
kjetil b halvorsen