Apakah korelasi non-nol menyiratkan ketergantungan?

Kita tahu fakta bahwa nol korelasi tidak menyiratkan independensi. Saya tertarik pada apakah korelasi non-nol menyiratkan ketergantungan - yaitu jika untuk beberapa variabel acak dan , dapatkah kita katakan secara umum bahwa ?X Y f X , Y ( x , y ) ≠ f X ( x ) f Y ( y $\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Ya karena

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

yang tidak mungkin jika . Begitu$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Pertanyaan: apa yang terjadi dengan variabel acak yang tidak memiliki kepadatan?

Misalkan dan Y menunjukkan variabel acak sehingga E [ X 2 ] dan E [ Y 2 ] adalah terbatas. Kemudian, E [ X Y ] , E [ X ] dan E [ Y ] semuanya terbatas.$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Membatasi perhatian kita pada variabel acak seperti itu, misalkan menyatakan pernyataan bahwa X dan Y adalah variabel acak independen dan B pernyataan bahwa X dan Y adalah variabel acak tidak berkorelasi , yaitu, E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Kemudian kita tahu bahwa A menyiratkan B , yaitu, variabel acak independen adalah variabel acak tidak berkorelasi. Memang satu definisi$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$variabel acak independen adalah bahwa sama dengan E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] untuk semua fungsi yang dapat diukur g ( ⋅ ) dan h ( ⋅ ) ). Ini biasanya dinyatakan sebagai $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ Tapi

$$A \implies B.$$ secara logis setara dengan ¬ $A \implies B$ , yaitu,$\neg B \implies \neg A$

correlated random variables are dependent random variables.

If $E[XY]$, $E[X]$ or $E[Y]$ are not finite or do not exist, then it is not possible to say whether $X$ and $Y$ are uncorrelated or not in the classical meaning of uncorrelated random variables being those for which $E[XY] = E[X]E[Y]$. For example, $X$ and $Y$ could be independent Cauchy random variables (for which the mean does not exist). Are they uncorrelated random variables in the classical sense?

Here a purely logical proof. If $A\rightarrow B$ then necessarily $\neg B \rightarrow \neg A$, as the two are equivalent. Thus if $\neg B$ then $\neg A$. Now replace $A$ with independence and $B$ with correlation.

Think about a statement "if volcano erupts there are going to be damages". Now think about a case where there are no damages. Clearly a volcano didn't erupt or we would have a condtradicition.

Similarly, think about a case "If independent $X,Y$, then non-correlated $X,Y$". Now, consider the case where $X,Y$ are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.