bawah Gaussian

Pertanyaan ini mengarah dari pertanyaan berikut. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Pada dasarnya apa itu bawah Gaussian . Saya mencoba menulis ulang sebagai campuran skalar dari Gaussians ( ). Ini juga terhenti, kecuali kalian punya trik di bawah ikat pinggang Anda. $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Jika integral ini tidak analitis, apakah ada batasan yang masuk akal?

normal-distribution expected-value bounds sachinruk
sumber

mengapa Anda tidak dapat melakukan hal yang sama seperti pada pertanyaan yang Anda tautkan? (yang menyiratkan itu bukan analitik (karena mengevaluasi erfc dengan beberapa konstanta)

seanv507

Karena saya tidak mengikuti apa yang telah dia lakukan sepenuhnya. Juga erfc baik

sachinruk

Jawaban:

Biarkan menjadi Normal PDF dan menjadi PDF dari distribusi t Student dengan satu df Karena PDF variabel Normal adalah (dengan simetri), harapannya sama dengan $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = E_{σ, μ} (π g (X)) = \int_{R} f_{σ} ((μ - x)^{2}) π g (x) d x .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

Ini adalah rumus yang menentukan untuk konvolusi . Hasil paling mendasar dari analisis Fourier adalah bahwa transformasi Fourier dari konvolusi adalah produk dari transformasi Fourier . Selain itu, fungsi karakteristik (cf) adalah (hingga kelipatan yang sesuai) Transformasi Fourier dari PDF. The cf dari normal distribusi adalah $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

dan c dari distribusi t Student ini adalah

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

(Keduanya dapat diperoleh dengan metode dasar.) Nilai transformasi Fourier terbalik dari produk mereka di adalah, menurut definisi, $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{f}}_{σ} (t) π \hat{g} (t) \exp (- i t μ) d t = \frac{1}{2} \int_{R} \exp (- t^{2} σ^{2} / 2 - | t | - i t μ) d t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

Perhitungannya adalah dasar: jalankan secara terpisah selama interval dan untuk menyederhanakanuntuk dan , masing-masing, dan menyelesaikan kuadrat setiap kali. Integral yang mirip dengan CDF Normal diperoleh - tetapi dengan argumen yang kompleks. Salah satu cara untuk menulis solusinya adalah $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

Di sini, adalah fungsi kesalahan komplementer di mana $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} \exp (- t^{2}) d t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

Kasus khusus adalah yang ekspresi ini dikurangi menjadi $\mu=0, \sigma=1$

E_{1, 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 \dots .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

Berikut adalah plot kontur (pada sumbu logaritmik untuk ). $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

Angka

whuber
sumber

+1. Catatan kecil: sama dengan untuk saya yang setuju dengan @ jawaban numerik fabee.

\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

COOLSerdash

Bagus. Saya benar-benar benar-benar merindukan bahwa ini adalah kepadatan jumlah variabel Gaussian dan terdistribusi t (hingga normalisasi). +1 untuk menurunkan rumus umum untuk dan sewenang-wenang .

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Fabee

@COOL Terima kasih - Saya menyalin jawaban yang salah. (Saya melakukan beberapa perhitungan numerik; yang saya salah laporkan sebenarnya untuk .) Saya akan menempelkan yang benar.

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

whuber

Ini adalah ide bagaimana menyelesaikannya yang menggunakan identitas yang diusulkan oleh Did here . Anda bisa menggunakannya

\frac{1}{S} = \int_{0}^{\infty} \exp (- t S) d t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} E (\frac{1}{x^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- t (x^{2} + 1)) \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d t \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

Fabee
sumber

+1 Untuk pendekatannya. Saya percaya faktor tidak termasuk dalam hasilnya.

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

whuber

Itulah konstanta normalisasi untuk Gaussian (berasal dari ekspektasi). Jadi, kecuali saya kehilangan sesuatu, saya pikir itu memang ada di sana.

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

Fabee

Anda telah menggabungkan fungsi kesalahan dengan CDF Gaussian: mereka tidak sama. Coba kalkulasi numerik - Anda akan melihat kesalahan.

whuber

Anda benar, faktornya salah. Tapi itu terjadi sebelum saya menggunakan fungsi kesalahan. Saya menghitung ekspektasi wrt dan lupa untuk menghapus konstanta normalisasi sesudahnya. Terima kasih atas petunjuknya.

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$

fabee