Turunkan distribusi Poisson bivariat

Saya baru-baru ini menemukan distribusi Poisson bivariat, tapi saya agak bingung bagaimana itu bisa diturunkan.

Distribusi diberikan oleh:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Dari apa yang saya dapat kumpulkan, istilah $\theta_{0}$ adalah ukuran korelasi antara $X$ dan $Y$ ; karenanya, ketika $X$ dan $Y$ bersifat independen, $\theta_{0} = 0$ dan distribusinya hanya menjadi produk dari dua distribusi Poisson univariat.

Mengingat hal ini, kebingungan saya didasarkan pada jangka penjumlahan - Aku menduga istilah ini menjelaskan korelasi antara $X$ dan $Y$ .

Tampak bagi saya bahwa ringkasan merupakan semacam produk fungsi distribusi kumulatif binomial di mana probabilitas "sukses" diberikan oleh $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ dan probabilitas "kegagalan" diberikan oleh $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , karena $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, tapi aku bisa pergi dengan ini.

Bisakah seseorang memberikan bantuan tentang bagaimana distribusi ini dapat diturunkan? Juga, jika itu dapat dimasukkan dalam jawaban apa pun bagaimana model ini dapat diperluas ke skenario multivarian (katakan tiga atau lebih variabel acak), itu akan bagus!

(Akhirnya, saya telah mencatat bahwa ada pertanyaan serupa yang diposting sebelumnya ( Memahami distribusi bivariat Poisson ), tetapi derivasi itu sebenarnya tidak dieksplorasi.)

Dalam presentasi slide , Karlis dan Ntzoufras mendefinisikan Poisson bivariat sebagai distribusi mana secara independen memiliki distribusi Poisson . Ingatlah bahwa memiliki sarana distribusi seperti ituX i θ $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

untuk$k=0, 1, 2, \ldots.$

Peristiwa adalah penyatuan yang terpisah dari peristiwa tersebut$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

untuk semua yang membuat ketiga komponen bilangan bulat non-negatif, dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa . Karena independen probabilitasnya berlipat ganda, dari mana0 ≤ i ≤ min ( x , y ) X $i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Ini adalah formula; kita sudah selesai. Tetapi untuk melihat bahwa itu setara dengan rumus dalam pertanyaan, gunakan definisi distribusi Poisson untuk menulis probabilitas ini dalam hal parameter dan (dengan asumsi tidak ada dari adalah nol) secara aljabar agar terlihat sebanyak mungkin seperti produk :θ 1 , θ 2 Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y $\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Jika Anda benar-benar ingin - ini agak sugestif - Anda dapat mengekspresikan kembali istilah dalam jumlah menggunakan koefisien binomial Dan , menghasilkan$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

persis seperti dalam pertanyaan.

---

Skenario generalisasi ke multivarian dapat dilanjutkan dalam beberapa cara, tergantung pada fleksibilitas yang dibutuhkan. Yang paling sederhana akan merenungkan distribusi

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

untuk terdistribusi Poisson independen . Untuk lebih fleksibel, variabel tambahan dapat diperkenalkan. Misalnya, gunakan variabel Poisson independen dan pertimbangkan distribusi multivariat dari ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Berikut adalah cara untuk menurunkan distribusi bivariat poisson.

Biarkan menjadi variabel acak poisson independen dengan parameter . Kemudian kita mendefinisikan . Variabel , umum untuk dan , menyebabkan pasangan$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$ berkorelasi. Maka kita harus menghitung probabilitas massa funtion:

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Semoga ini bisa membantu!