Distribusi memiliki fungsi karakteristik
Tunjukkan bahwa distribusi benar - benar kontinu dan tulis fungsi kepadatan distribusi.
Mencoba:
Hasil serupa untuk karena kuadrat.
Saya tidak yakin saya melakukan integrasi dengan benar, tetapi jika saya dapat menunjukkan bahwa nilai absolut dari kurang dari , maka fungsinya benar-benar kontinu.
Jawaban:
Fungsi kepadatan ditemukan dengan transformasi Fourier terbalik. Fungsi kepadatan distribusi, jika kepadatan tersebut ada, akan diberikan oleh
Integral ini dapat dibagi menjadi dua, yang masing-masing memiliki integand bentuk
di mana adalah bentuk kuadratik dengan istilah memimpin negatif dan adalah bilangan bulat non-negatif. Ini membuat setiap integrand fungsi Schwartz (menurun cepat) , memastikan integrabilitasnya untuk setiap . Integrabilitas membuktikannya kontinu ; penurunan cepat membuktikan itu benar-benar kontinu. Integral mudah dilakukan dengan melengkapi kuadrat dalam eksponensial, menguranginya menjadi kelipatan momen genap dari distribusi Gaussian. Hasilnya adalahQt k t
Kontinuitasf menegaskan kesimpulan sebelumnya dari kontinuitas absolut dari distribusi.
Kuadrat dari variabel (simetris) ini memiliki Gamma(3/2,1) distribusi.
Atau, orang mungkin mengenalinya
sebanding dengan turunan kedua dari Gaussiane−t2/4 , menyiratkan (karena operator −id/dt pada fungsi karakteristik setara dengan perkalian fungsi distribusi oleh variabel) yang kepadatan f(x) ada dan sebanding dengan x2 kali kepadatan yang cf 2e−t2/4 . Itu segera dikenali sebagai distribusi Gaussian (Normal) dengan kepadatan sebanding dengane−x2 . Pada titik ini yang harus dilakukan adalah menentukan konstanta normalisasi2/π−−√ melalui integrasi atau dengan menghitung varian dari distribusi Normal dengan standar deviasi 1/2−−−√ .
sumber