Bagaimana menemukan kepadatan dari fungsi karakteristik?

8

Distribusi memiliki fungsi karakteristik

ϕ(t)=(1t2/2)exp(t2/4), <t<

Tunjukkan bahwa distribusi benar - benar kontinu dan tulis fungsi kepadatan distribusi.

Mencoba:

|(1t2/2)exp(t2/4)|dt=(2/t)(1t2/2)exp(t2/4)2exp(t2/4)|0

Hasil serupa untuk karena kuadrat.[0,]t

Saya tidak yakin saya melakukan integrasi dengan benar, tetapi jika saya dapat menunjukkan bahwa nilai absolut dari kurang dari , maka fungsinya benar-benar kontinu.ϕ(t)

statsguyz
sumber
Gunakan untuk untuk setiap polinomial . Ini memastikan bahwa kedua ekor tidak dapat diintegrasikan. p(t)/exp(t2)0t±p
Stefan Hansen

Jawaban:

9

Fungsi kepadatan ditemukan dengan transformasi Fourier terbalik. Fungsi kepadatan distribusi, jika kepadatan tersebut ada, akan diberikan oleh

f(t)=12πReitxϕ(x)dx=12πReitx((1x2/2)ex2/4)dx.

Integral ini dapat dibagi menjadi dua, yang masing-masing memiliki integand bentuk

exp(Qt(x))x2k

di mana adalah bentuk kuadratik dengan istilah memimpin negatif dan adalah bilangan bulat non-negatif. Ini membuat setiap integrand fungsi Schwartz (menurun cepat) , memastikan integrabilitasnya untuk setiap . Integrabilitas membuktikannya kontinu ; penurunan cepat membuktikan itu benar-benar kontinu. Integral mudah dilakukan dengan melengkapi kuadrat dalam eksponensial, menguranginya menjadi kelipatan momen genap dari distribusi Gaussian. Hasilnya adalahQtkt

f(t)=2πt2et2.

Kontinuitas f menegaskan kesimpulan sebelumnya dari kontinuitas absolut dari distribusi.

Plot f

Kuadrat dari variabel (simetris) ini memiliki Gamma(3/2,1) distribusi.


Atau, orang mungkin mengenalinya

ϕ(t)=2(12+t24)et2/4=(i)2d2dt22et2/4

sebanding dengan turunan kedua dari Gaussian et2/4, menyiratkan (karena operator id/dt pada fungsi karakteristik setara dengan perkalian fungsi distribusi oleh variabel) yang kepadatan f(x) ada dan sebanding dengan x2 kali kepadatan yang cf 2et2/4. Itu segera dikenali sebagai distribusi Gaussian (Normal) dengan kepadatan sebanding denganex2. Pada titik ini yang harus dilakukan adalah menentukan konstanta normalisasi2/π melalui integrasi atau dengan menghitung varian dari distribusi Normal dengan standar deviasi 1/2.

whuber
sumber