Mengapa seseorang tidak dapat menggeneralisasi tes Kolmogorov-Smirnov ke 2 atau lebih dimensi?

Pertanyaannya mengatakan itu semua. Saya telah membaca keduanya bahwa seseorang tidak dapat menggeneralisasi KS ke dimensi yang sama atau lebih besar dari dua , dan bahwa implementasi terkenal seperti itu dalam Numerical Recipes benar -benar salah. Bisakah Anda jelaskan mengapa demikian?

Saya yakin sah mengutip bagian yang relevan dari paragraf yang dimaksud:

3. Tes KS tidak dapat diterapkan dalam dua dimensi atau lebih. Para astronom sering memiliki dataset dengan titik-titik yang terdistribusi dalam sebuah pesawat atau dimensi yang lebih tinggi, daripada sepanjang garis. Beberapa makalah dalam literatur astronomi mengaku menyajikan uji KS dua dimensi, dan satu direproduksi dalam Volume Numerical Recipes yang terkenal. Namun, tidak ada tes berbasis EDF (ini termasuk KS, AD dan tes terkait) dapat diterapkan dalam dua dimensi atau lebih tinggi, karena tidak ada cara unik untuk memesan titik sehingga jarak antara EDF yang terdefinisi dengan baik dapat dihitung. Seseorang dapat membangun statistik berdasarkan pada beberapa prosedur pemesanan, dan kemudian menghitung jarak supremum antara dua dataset (atau satu dataset dan kurva). Tetapi nilai-nilai kritis dari statistik yang dihasilkan tidak bebas distribusi.

Seperti yang dinyatakan, ini sepertinya terlalu kuat.

1) Fungsi distribusi bivariat, yaitu adalah peta dari hingga . Yaitu, fungsi mengambil nilai univariat nyata antara 0 dan 1. Nilai-nilai itu - yang menjadi probabilitas - sudah "dipesan" - dan ini (nilai fungsi) adalah hal yang perlu kita buat perbandingan untuk pengujian berbasis ECDF . Demikian pula, ecdf, didefinisikan dengan sangat baik dalam kasus bivariat.$F(x_1,x_2) = P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2)$$\mathbb{R}^2$$[0,1]$$\hat F$

Saya tidak berpikir ada kebutuhan untuk mencoba mengubahnya menjadi beberapa fungsi dari variabel gabungan univariat seperti yang disarankan oleh teks. Anda cukup menghitung dan pada setiap kombinasi yang diperlukan dan menghitung perbedaannya.$F$$\hat F$

2) Namun, pada pertanyaan apakah bebas distribusi, mereka ada benarnya:

a) dengan jelas statistik uji seperti itu tidak akan diubah oleh perubahan transformasi margin, yang dapat dikatakan, jika dikonstruksikan sebagai uji seragam independen bivariat, , maka ia berfungsi sama serta pengujian independen mana . Dalam pengertian itu, ini bebas distribusi (kita dapat mengatakan 'bebas margin').$\mathbf{U}=(U_1,U_2)$$(X_1,X_2)$$U_i=F_i(X_i)$

b) namun, ada poin mendasar yang lebih umum dalam arti yang lebih luas bahwa versi statistik KS yang naif (seperti yang baru saja saya jelaskan) tidak lebih bebas distribusi secara umum; kita tidak bisa begitu saja mengubah sewenang-wenang .X ∗ = g ( U$U$$X^* = \mathbf{g}(\mathbf{U})$

Dalam versi jawaban saya sebelumnya saya katakan:

Tidak ada kesulitan, tidak ada masalah

Itu salah. Memang ada masalah jika ada perubahan tidak hanya dari margin dari seragam independen bivariat, seperti yang baru saja disebutkan. Namun, kesulitan-kesulitan itu telah dipertimbangkan dalam beberapa cara di sejumlah makalah yang menghasilkan versi bivariat / multivariat dari statistik Kolmogorov-Smirnov yang tidak menderita masalah itu.

Saya dapat kembali dan menambahkan beberapa referensi dan diskusi tentang cara kerjanya begitu waktu mengizinkan.