Mengapa ada bukit seperti sisir dalam periodogram?

Saya bermain dengan periodogramMATLAB. Saya membuat skrip sederhana untuk mengamati bagaimana perilakunya:

rng(1);  %# initialize the random number generator

Fs = 1000;  %# Sampling frequency
duration = 0.1; %# seconds

A = 1; %# Sinusoid amplitude
f = 150; %# Sinusoid frequency
eps = 0.01;

t = 0:1/Fs:duration;
x = A * sin(2*pi*f*t) + eps * randn(size(t));

periodogram(x,[],1024,Fs);

Saya tidak punya masalah dengan kode dan dapat menulis periodogramfungsi saya sendiri menggunakan algoritma yang diberikan dalam dokumentasi tapi saya bertanya-tanya alasan teoretis di balik bukit sisir seperti yang tidak 150 Hz. Apa yang saya dapatkan daripada mendapatkan lonjakan tunggal lebih dari 150 Hz? Adakah yang istimewa dari jarak puncak bukit-bukit ini?

Saya tidak sepenuhnya puas dengan jawaban Itamar Katz, jadi inilah penjelasan saya.

DFT dari sinyal kompleks panjang , adalah$N$$x[n]=e^{\imath 2\pi f n/N}$

Jadi, kekuatan atau besarnya respon kuadrat diberikan oleh

Seperti yang Anda lihat, ekspresi di atas adalah nol setiap kali adalah bilangan bulat. Anda dapat meyakinkan diri sendiri bahwa penyebutnya nol pada satu titik saja, dan pada titik ini, mengambil batasan memberi Anda nilai untuk rasio. Oleh karena itu, tidak ada titik di mana ungkapan itu meledak.$f-k$$N^2$

Sekarang ketika Anda mengambil log dari ekspresi di atas, adalah (atau dalam hal ini, dalam basis apa pun) dan karenanya Anda mendapatkan nol di mana pun Anda memiliki nol. Inilah yang menghasilkan "sisir seperti bukit" di plot Anda.$log_{10}(0)$$-\infty$

Berikut ilustrasi singkat dalam Mathematica:

Clear@X
X[f_, n_] := (Sin[π (f - #)]/Sin[π (f - #)/n])^2 &
Plot[X[3, 10][k], {k, -5, 5}, PlotRange -> All]

Frekuensi berada pada sumbu x dan daya (linier) ada pada sumbu y. Anda dapat melihat bahwa nol terjadi pada nilai integer dan puncaknya adalah 3, yang merupakan frekuensi yang saya pilih. Sekarang mengambil dari yang di atas, Anda mendapatkan nol yang menimbulkan struktur seperti sisir$log_{10}$

Inilah contoh lain dengan lebih besar , yang menunjukkan lebih banyak nol.$N$

Satu lonjakan (seperti Anda menyebutnya) muncul secara teoritis hanya untuk sinusoid panjang tak terbatas. Karena panjang sinyal Anda 100 sampel, itu tidak terbatas. Anda sebenarnya mengalikan sinyal tak terbatas Anda dengan jendela yang memiliki nilai 1 lebih dari 100 sampel, dan 0 di tempat lain. Karena perkalian dalam domain waktu sama dengan konvolusi dalam domain frekuensi, spektrum Anda adalah konvolusi lonjakan tunggal dan respons frekuensi jendela (tetapi disebut jendela persegi panjang). Ini adalah fungsi yang Anda dapatkan.

Saya sarankan Anda membaca tentang windowing: http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function