Apa arti dari nol / kutub yang kompleks?

Saya telah mempelajari pemrosesan sinyal dan kontrol untuk sementara waktu sekarang, dan saya menggunakan transformasi Laplace dan Fourier hampir setiap hari. Juga alat lain seperti Nyquist atau Bode plot.

Namun, saya belum pernah memikirkan hal ini sampai hari ini: apa arti fisik dari bilangan kompleks ketika berhadapan dengan frekuensi?

Ini mungkin terdengar konyol, tetapi saya ditanya pertanyaan ini dan saya tidak tahu harus menjawab apa. Mengapa kita berbicara tentang dan bukan hanya , misalnya, transformasi Fourier dan plot Bode atau Nyquist? Apa arti fisik dari bagian nyata dan imajiner dari nol atau kutub di domain Laplace?$j\omega$$\omega$

Kami biasanya berbicara tentang ketika kami juga tertarik pada transformasi Laplace dari sinyal / sistem, tetapi ingin hanya berbicara tentang respons frekuensi.$j\omega$

Arti fisik dari bagian imajiner adalah bahwa ia merujuk pada sinyal murni sinusoidal dan konstan "amplitudo". Bagian nyata mengacu pada sinyal yang "amplitudo" meluruh atau tumbuh secara eksponensial.

Saya pikir saya mulai memahami hubungan antara nol / kutub dan respons frekuensi . Idenya adalah bahwa Anda menyesuaikan frekuensi frekuensi-domain Anda secara fungsi dan kecepatan pembusukan mereka untuk mencocokkan . Maksud saya bahwa nol / kutub dapat berupa bilangan kompleks dengan amplitudo di luar lingkaran tunggal dan menyesuaikan frekuensi Anda memindahkan vektor bilangan kompleks Anda sepanjang lingkaran tunggal di bidang kompleks tetapi tidak ada frekuensi yang dapat membuatnya sama dengan atau , misalnya. Jadi, fungsi basis Anda harus terlihat seperti$w$$e^{jwn}$$z_{zero/pole}$$e^{-jw}$$z=2$$z=j/3$$e^{(k-jw)n}$untuk mencapai kutub / nol di bidang kompleks. Sangat menarik karena saya mendengar bahwa basis Fourier dapat mewakili tunggal tetapi tampaknya tidak mencukupi dan kita membutuhkan basis Laplace dalam desain filter.$e^{-jw}$$e^{(k-jw)n}$

Sekarang, nyata murni berarti "eksponen kompleks" yang cocok dengan itu tidak memiliki komponen imajiner. Itu harus meluruh tanpa osilasi, seperti , untuk merespon nol / kutub. Ambil kutub di , misalnya. Anda memiliki sistem sehinggaKutub sesuai dengan frekuensi . Memang, dengan , kita memiliki yang tumbuh tanpa batas. Membuatnya berosilasi, yaitu pengaturan , akan memecah pertumbuhan sejak pertama kali terakumulasi, ketika$z$$e^{kn}$$z=1$$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$$Y(z) = X(z)/(1-z).$$z = e^{-jw} =1$$w=0$$x_n=1$$y_n = y_{n-1} + 1$$w \neq 1$$x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$dan kemudian mengurangi akumulasi menjadi nol, selama paruh kedua periode sinus. Ini menunjukkan bahwa kutub imajiner akan memberi Anda respons tak terbatas untuk fungsi berosilasi (komponen sinyal input Anda).

Ketika Anda memiliki sistem , Anda dapat dengan mudah mendapatkan fungsi kutub dengan menerapkan impuls delta pada input. Respon yang diamati adalah kutub. Maksud saya respons adalah eksponen membusuk . Setiap jam itu adalah dikali nilai sebelumnya. Perhatikan, bahwa itu (kutub alias koefisien umpan balik dan, karenanya fungsi respons) rumit secara umum, yang berarti respons Anda akan berosilasi. Ketika Anda mengalikan angka kompleks dengan yang lain, nomor Anda diskalakan dan digeser secara bertahap. Bagian kompleks bertanggung jawab atas pergeseran fase (osilasi).$y_n=ay_{n-1}$$y_n = e^{k-jw}n=a^n$$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$

Saya ingat dari teori sistem bahwa osilasi sebenarnya berdiri untuk sistem urutan kedua. Mungkin, ini akan menjawab pertanyaan sel pergantian tambang . Idenya adalah bahwa ketika Anda memiliki tingkat pertama mengontrol kenaikan yang lain dan yang lain mengontrol kenaikan yang pertama, seperti induktor listrik dan kapasitor dalam osilator harmonik,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

adalah sistem urutan kedua karena dapat diperluas ke , persamaan pegas osciallator yang terkenal: posisi mengontrol kontrol secara negatif. Jadi, dua variabel keadaan murni (alias akumulator) benar-benar berosilasi. Saya melihat bahwa bidang kompleks juga terdiri dari dua sumbu, dua variabel yang sama. Ketika semua energi terkonsentrasi di akumulator pertama, Anda memiliki status 1 + 0j, ketika setengah jalan kembali, Anda memiliki kebalikannya, status = 0 + 1j, kemudian akumulator kedua mendorong energi ke belakang, state3 = -1 + 0j, yang ponged ke yang pertama ke state4 = 0-j dan proses berulang. Ini adalah 4 perempat perjalanan di sepanjang unit lingkaran di pesawat kompleks dan meniru osilasi harmonik. Jadi, mungkin, Anda dapat membagi menjadi$\ddot{u} = \dot{i} = -u$$1/(1-(a+jb)z)$$1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$ dengan dan .$r_0$$r_1$

Tunggu, Anda tidak dapat membuat tunggal terurai menjadi dan saya ingat bahwa kutub kompleks selalu datang berpasangan konjugat. Artinya, jika Anda memiliki kutub (a + jb), Anda juga memiliki (a-jb). Seperti yang saya pahami, ini membantu untuk membuat output murni nyata, diberi input nyata karena umpan balik (a + jb) berarti sistem berevolusi sebagai , fase berotasi dalam satu arah sedangkan memutar fase ke arah lain dan jumlahnya adalah adalah murni nyata. Sistem atas memiliki solusi . Mungkin Anda sudah mengerti ini. Saya baru saja memperluas pertanyaan Anda.$z$$z^2$$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$$x_{n+1}=-x_{n-1}$$X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$

Fungsi transfer adalah urutan . Harus ada "variabel tersembunyi" (ya, itu menarik jika kompleksitas kutub identik dengan kebutuhan angka imajiner yang kita butuhkan dalam QM. Posisi dan momen adalah konjugat kompleks, semacam rotasi 90 °, satu sama lain dan mengetahui satu Anda dapat menghitung yang lain) variabel tersembunyi untuk diingat jika kita pindah ke 1 atau -1 setelah 0 status. Konjugat kompleks adalah semacam akumulator ortogonal yang gratis namun variabel nyata, seperti arus induktor untuk tegangan kapasitor, yang melacaknya. Saya bergabung dengan pertanyaan untuk siapa pun untuk menjelaskan mengapa kita memerlukan dua pelengkap seperti itu untuk memiliki osilasi tegangan murni nyata dan apa arti osilasi kompleks tunggal.$1/(1+z^2)$$\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$

Saya melihatnya seperti ini (untuk osilator LC di atas)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Artinya, apa yang Anda lihat tegangan imajiner adalah arus nyata dalam kerangka referensi paralel, yaitu dari sudut pandang induktor. Karena, seperti yang telah saya katakan kepada Anda, status LTI berevolusi dengan mengalikan kondisi saat ini dengan nilai eigen, kita harus berosilasi antara 1 dan -1 di atas lingkaran satuan, yang menyiratkan status tengah. Tapi, apa yang Anda lihat sebagai energi yang tersimpan di ruang imajiner, kebetulan hanyalah akumulator. Accmulaor konjugat hanyalah akumulator lain. Untuk beberapa alasan itu kebetulan jenis konjugat, seperti yang saya coba jelaskan di sel pergantian .

Saya sepertinya menyimpang lagi. Karena osilasi harmonik adalah superposisi dari dua evolusi, dibuat oleh dua kutub kompleks dan , kita harus memiliki dua kolom per setiap variabel konjugat. Ini bagian yang hilang$j$$-j$

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

Tegangan kapasitor adalah nilai riil, yang merupakan rata-rata dari dua kolom kapasitor, . Untuk memproses rotasi berlawanan membatalkan komponen imajiner keluar. Pada kenyataannya, arus mengalir dalam satu arah tetapi mengakui arah apa pun dan memisahkannya tetapi rata-rata. Jadi, kutub saja merupakan proses konkret, aliran arus dalam satu arah atau yang lain. Dan, jika Anda bertanya apa kutub yang kompleks, jawabannya adalah faktor dimana vektor [arus, tegangan] diskalakan setiap jam jika kita berada dalam domain diskrit (atau [di / dt, dv / dt] jika kita berada dalam domain kontinu) di mana faktor nyata adalah singkatan dari amplitudo mereka, bagian nyata faktor kompleks$(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$$\ddot(x)=-x$$cos w$$e^{jw}$singkatan evolusi tegangan dan bagian imajiner singkatan evolusi saat ini. Arus adalah imajiner karena Anda melihat dari sudut pandang tegangan, . Sebaliknya, tegangan akan menjadi nyata imajiner dan arus dari kerangka referensi saat ini, . Semoga ini benar dan siapa pun bisa menjelaskannya dengan lebih baik.$sin w$$\ddot{v}=-v$$\ddot{i}=-i$

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk memprediksi perilaku sirkuit. Transformasi Laplace mengambil fungsi waktu-domain , dan mengubahnya menjadi fungsi dalam -domain. Anda dapat melihat Laplace mentransformasikan sebagai rasio polinomial di -domain. Jika Anda menemukan akar (kutub) nyata dan kompleks dari polinomial ini, Anda bisa mendapatkan gambaran umum tentang bentuk gelombang .$f(t)$$F(s)$$s$$F(s)$$s$$f(t)$

Sebagai contoh, seperti yang ditunjukkan pada tabel ini, jika root adalah nyata, maka bentuk gelombangnya eksponensial. Jika mereka imajiner, maka itu adalah kombinasi antara sinus dan cosinus. Dan jika mereka kompleks, maka itu adalah sinusoid redaman.

Semua itu berasal dari rumus Euler dan definisi deret Fourier yang merupakan cara untuk merepresentasikan fungsi (seperti gelombang) sebagai jumlah dari gelombang sinus sederhana.

Satu jawaban sangat sederhana: Informasi.

Sinyal AC tidak dapat dikuantifikasi dengan satu angka. Jumlahkan dua sinyal 1V 100Hz dan Anda mungkin mendapatkan apa pun antara 0 dan 2 tergantung pada fase. Bilangan kompleks menyelesaikan masalah ini dengan 'membawa-bawa' dua potong informasi sepanjang waktu.

Polandia dan nol serupa - frekuensinya tidak memberi tahu Anda segalanya. Dua filter RC membuat dua kutub. Filter LC menciptakan dua kutub. Tapi mereka tidak setara. Bilangan kompleks dapat membawa informasi yang menjelaskan perbedaannya.

Poin teoretis Anda. Cobalah mengambil akar kuadrat dari frekuensi negatif dan itu akan membawa Anda ke tempat yang aneh.

Sekitar 300 tahun yang lalu perlu untuk memperkenalkan variabel yang disebut$j$

Namun demikian, Laplace transform, mentransformasikan sinyal time-domain menjadi -domain di mana$s$

$$s=\sigma+j\omega$$

dimana Fourier mentransformasikan, ke domain frekuensi$j\omega$