Nol, Pertama, Kedua ... Tahan ke-2

9

Fungsi persegi panjang didefinisikan sebagai:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Fungsi segitiga didefinisikan sebagai:

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$ ini merupakan konvolusi dari dua fungsi unit persegi panjang yang identik:

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$ Nol-order hold dan penggunaan terus Pertama-order fungsi-fungsi ini. Bahkan, ia memiliki:

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$ untuk Zero-order hold, dan

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$ untuk Hold orde pertama. Karena

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , saya ingin tahu apakah ini hanya kebetulan atau jika, untuk Hold orde kedua, respon impulsnya adalah

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ Apakah benar juga untuk umum

k

$k$ rangka -th terus? Yaitu, letakkan

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ mana

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ adalah respons impuls dari

k

$k$ -th order hold, saya ingin tahu apakah respons impulsnya adalah

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k kali.

sampling interpolation Menandai
sumber

saya belum melihat referensi untuk

th agar ditahan untuk

. saya akan berharap itu menjadi fungsi

dilingkupi dengan dirinya sendiri

kali. tetapi saya tidak tahu apa definisi itu.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

robert bristow-johnson

1

@ robertbristow-johnson: Dalam analogi dengan hold-orde-nol (interpolasi polinomial orde nol, yaitu konstanta piecewise), dan hold-orde-pertama (interpolasi polinomial orde-pertama, yaitu linier piecewise), penahanan urutan ke-n adalah interpolasi sedikit demi sedikit oleh polinomial orde ke-n. Disebutkan di sini (hlm. 6).

Matt L.

1

Ini dan apa yang dijelaskan oleh @ robertbristow-johnson dalam jawabannya di bawah ini disebut B-splines.

Olli Niemitalo

Adakah yang bisa menunjukkan dengan matriks gambar dengan faktor 2? Dan, saya tidak begitu jelas tentang faktor di sini.

user30462

9

Ini bukan kasusnya. Pertama-tama, penahanan urutan kedua akan menggunakan tiga titik sampel untuk menghitung polinomial interpolasi, tetapi respons respons impuls yang Anda sarankan adalah tidak nol dalam interval ukuran (dengan asumsi sampel interval dari , seperti yang Anda lakukan pada pertanyaan Anda). Namun, respons impuls yang terkait dengan penahanan orde kedua harus memiliki dukungan panjang . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Sekarang Anda bisa menyarankan bahwa orde kedua ditahan bisa memiliki respon impuls yang merupakan konvolusi dari fungsi persegi panjang. Dalam hal ini Anda akan mendapatkan ukuran dukungan yang benar, tetapi tentu saja itu tidak cukup. $n^{th}$ $n$

Sebuah orde kedua terus menghitung interpolasi sepotong-bijaksana menggunakan titik data berturut-turut. Ini dalam analogi dengan penahanan urutan nol menggunakan titik data tunggal, dan penahanan urutan pertama, yang menggunakan dua titik data. Definisi ini umumnya digunakan dalam literatur (lihat misalnya di sini dan di sini ). $n^{th}$ $n+1$

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa polinomial orde kedua yang menginterpolasi tiga titik data , , dan diberikan oleh $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Untuk menemukan respon impuls yang mencapai interpolasi yang diberikan oleh , kita harus menyamakan dengan ekspresi $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Jika kita memilih dukungan dari respon impuls sebagai interval , yang setara dengan memilih interval interpolasi , menyamakan dan menghasilkan impuls berikut respons penahanan orde kedua: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

Respons impuls dari penahanan orde kedua terlihat seperti ini: $(3)$

Saya menyerahkan kepada Anda untuk menunjukkan bahwa respons impuls ini tidak dapat dihasilkan dengan menggabungkan tiga fungsi persegi panjang satu sama lain.

Matt L.
sumber

Matt, dapatkah Anda memberikan referensi untuk representasi Anda tentang penangguhan pesanan ke-2? Saya 100% yakin plotnya salah.

robert bristow-johnson

saya memperbaiki Persamaan. (1) (dengan asumsi premis sudah benar). saya akan menyerahkannya kepada Anda untuk merefleksikannya menjadi

.

h (t)

$h(t)$

robert bristow-johnson

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

6

$n$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

$x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

yang merupakan output dari filter brickwall yang ideal dengan respons frekuensi:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

ketika didorong oleh fungsi sampel idealnya

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

$x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

itu berarti bahwa respons impuls dari brickwall filter yang ideal ini adalah

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

$x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

$h(t)$

$x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

dan dapat dimodelkan sebagai filter dengan respons impuls

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

$x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

dan respons frekuensi dari filter rekonstruksi tersirat adalah

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

catat penundaan setengah sampel yang konstan dalam respons frekuensi ini. dari situlah Zero-order hold berasal.

$x_\text{s}(t)$

$x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

$\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

$(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

tanggapan impuls dari ini adalah

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

$e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

robert bristow-johnson
sumber

Ini akhirnya akan menyatu dengan respon impuls Gaussian, dan saya tidak bisa membuat banyak intuisi tentang hal ini. Saya sangat percaya bahwa penahanan urutan ke-n adalah - dalam analogi lengkap dengan ZOH dan FOH - interpolator polinomial urutan ke-n. Saya membagikan pandangan ini dengan beberapa penulis lain: mis. Yang ini dan yang ini . Saya belum melihat interpretasi Anda tentang pesanan ke-n berlaku di tempat lain.

Matt L.

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

2

Pertanyaan lain ditandai sebagai duplikat dari ini. Di sana juga ditanyai apa yang memegang poligon . Itu dan tahan poligon tampaknya sinonim untuk interpolasi linier, di mana "titik-titik terhubung" daripada output yang terlihat seperti gergaji seperti dalam prediksi urutan pertama. Menghubungkan sampel dengan garis memerlukan mengetahui sampel berikutnya terlebih dahulu sehingga garis tersebut dapat diarahkan ke arah yang benar. Dalam konteks sistem kontrol waktu-nyata di mana sampel tidak diketahui sebelumnya, itu berarti bahwa output harus ditunda oleh satu periode pengambilan sampel agar garis terhubung pada sampel.

Polinomial hold (bukan polygonal hold) mencakup penahan orde nol dan penahan orde pertama.

Olli Niemitalo
sumber

Nol, Pertama, Kedua ... Tahan ke-2

Jawaban: