"Sampel kompleks" dapat memecah Nyquist?

Saya telah mendengar secara anekdotal bahwa pengambilan sampel sinyal yang kompleks tidak harus mengikuti tingkat pengambilan sampel Nyquist tetapi sebenarnya dapat dihilangkan dengan setengah tingkat pengambilan sampel Nyquist. Saya bertanya-tanya apakah ada kebenaran dalam hal ini?

Dari Nyquist, kita tahu bahwa untuk mengambil sampel sinyal secara jelas, kita perlu sampel setidaknya lebih tinggi dari dua kali lipat bandwidth sinyal itu. (Saya mendefinisikan bandwidth di sini seperti yang mereka lakukan di tautan wiki , alias, hunian frekuensi positif). Dengan kata lain, jika sinyal saya ada dari -B ke B, saya perlu sampel setidaknya> 2 * B untuk memenuhi nyquist. Jika saya mencampur sinyal ini hingga fc, dan ingin melakukan bandpass sampling, saya perlu mengambil sampel setidaknya> 4 * B.

Ini semua bagus untuk sinyal nyata.

Pertanyaan saya adalah, apakah ada kebenaran pada pernyataan bahwa sinyal pita dasar yang kompleks (alias, yang hanya ada di satu sisi spektrum frekuensi) tidak perlu disampel pada laju setidaknya> 2 * B, tetapi sebenarnya bisa disampel secara memadai pada tingkat setidaknya> B?

(Saya cenderung berpikir bahwa jika ini masalahnya, ini hanya semantik, karena Anda masih harus mengambil dua sampel (satu nyata dan satu imajiner) per waktu sampel untuk benar-benar mewakili fasor berputar, dengan demikian tetap mengikuti Nyquist .. .)

Apa yang kamu pikirkan?

Pemahaman Anda benar. Jika Anda sampel pada laju , maka dengan sampel nyata saja, Anda dapat dengan jelas menunjukkan konten frekuensi di wilayah (meskipun peringatan yang memungkinkan pengambilan sampel bandpass masih berlaku). Tidak ada informasi tambahan yang dapat disimpan di bagian lain dari spektrum ketika sampel nyata, karena sinyal nyata menunjukkan simetri konjugat dalam domain frekuensi; jika sinyal Anda nyata dan Anda tahu spektrumnya dari hingga , maka Anda dapat dengan mudah menyimpulkan apa yang setengah dari spektrumnya.$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

Tidak ada batasan seperti itu untuk sinyal kompleks, jadi sinyal kompleks yang diambil sampelnya pada laju dapat dengan jelas mengandung konten dari hingga (untuk total bandwidth ). Seperti yang Anda catat, bagaimanapun, tidak ada peningkatan efisiensi inheren yang dibuat di sini, karena setiap sampel kompleks berisi dua komponen (nyata dan imajiner), jadi sementara Anda memerlukan setengah sampel sebanyak, masing-masing membutuhkan dua kali jumlah penyimpanan data, yang membatalkan manfaat langsung apa pun. Sinyal kompleks sering digunakan dalam pemrosesan sinyal, di mana Anda memiliki masalah yang memetakan dengan baik untuk struktur itu (seperti dalam sistem komunikasi quadrature).$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Ada juga pendekatan sederhana untuk menjelaskan ini: Jika sinyal baseband nyata Anda memiliki spektrum dari -B ke + B, Anda sampel dengan 2B, sehingga Anda memastikan bahwa pengulangan spektrum spektrum tidak tumpang tindih. Tumpang tindih akan berarti bahwa Anda mendapatkan alias dan tidak dapat merekonstruksi spektrum asli.

Sekarang dengan sinyal yang kompleks, rentang spektrum, seperti yang disebutkan oleh Jason, dari 0 ke B. (Secara teoritis dapat juga memiliki spektrum pada frekuensi negatif, tetapi untuk sebagian besar kasus praktis akan berkisar dari 0 hingga B.) Jika Anda sampel dengan tingkat B, karena tidak ada bagian pada frekuensi negatif dalam spektrum asli, pengulangan spektrum tidak akan tumpang tindih -> rekonstruksi jelas mungkin!

Saya akan mengatakan itu adalah 'Tidak' yang memenuhi syarat, dalam arti bahwa jumlah sampel nyata individu belum diklarifikasi dengan baik, bersama dengan tujuan untuk memilih tingkat digitisasi sinyal.

Pertama, semua sinyal dunia nyata adalah Nyata, bukan kompleks. Artinya, setiap kali kita dihadapkan dengan representasi yang kompleks, kita sebenarnya memiliki dua titik data (nyata), yang harus diperhitungkan dalam batas 'Nyquist'.

Masalah kedua adalah 'frekuensi negatif', seperti yang dirasakan dari baseband. Hampir semua pengajaran pengambilan sampel berasal dari perspektif baseband, sehingga frekuensinya cenderung 0..B, yang kemudian dijadikan sampel pada fs. Frekuensi negatif semacam diabaikan (menggunakan identitas konjugat yang kompleks).

Dimungkinkan untuk memikirkan sinyal pita dasar seolah-olah sedang dimodulasi pada frekuensi nol, namun memulai modulasi pembawa pada titik fs / 2 nominal dapat menerangi, karena kita kemudian melihat dua sideband, dan istilah kompleks (matematika) dari pembawa. Frekuensi yang sebelumnya negatif telah bergeser. Dan kita mungkin tidak lagi memiliki identitas konjugat yang kompleks.

Jika identitas konjugasi yang kompleks telah dihilangkan, kami tidak lagi memiliki frekuensi lipat, dan kami memiliki pembungkus sederhana di sekitar alias.

Jadi jika kita memiliki sinyal nyata HF yang diambil sampelnya untuk memberikan demodulasi representasi kompleks, tanpa melipat, kita dalam beberapa hal berakhir dengan bandwidth fs / 4 (+/- B). Untuk setiap 4 sampel data (0, 90, 180, 270 deg) kami menampilkan dua nilai yang mewakili komponen fase (0 - 180) dan kuadratur (90 - 270) dari keseluruhan sampel kompleks.

Dalam dunia yang sepenuhnya kompleks, jika sinyalnya kompleks, frekuensi pengambilan sampelnya kompleks, menghasilkan dua kali syarat. Tergantung pada fitur matematika apa yang Anda butuhkan dari sinyal sampel.