Apa keuntungan, jika ada, pengambilan sampel derivatif?

Dalam Lima cerita pendek tentang seri kardinal , penulis membuat komentar berikut:$[1]$

Cukup menarik, Shannon selanjutnya menyebutkan bahwa set data lain juga dapat digunakan untuk menentukan sinyal band-terbatas - misalnya, nilai-nilai ƒ dan turunan pertamanya di setiap titik sampel lainnya, nilai ƒ dan yang pertama dan turunan kedua pada setiap titik sampel ketiga, dan seterusnya.

Makalah ini menyebutkan beberapa perkembangan sejarah, tapi saya ingin tahu apa "aplikasi pembunuh" untuk pengambilan sampel derivatif. Apakah ada nama lain? Apakah ada generalisasi lebih lanjut dari pendekatan ini?

Gambaran sederhana, atau petunjuk ke beberapa referensi akan sangat bagus.

-

1. JR Higgins, Lima cerita pendek tentang seri kardinal , Bull. Amer. Matematika Soc. (NS) 12 (1985), no. 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

Papoulis memperkenalkan generalisasi dari teorema pengambilan sampel [1], dimana pendekatan pengambilan sampel derivatif adalah satu kasus. Inti teorema, yang dikutip dari [2] adalah:

Pada tahun 1977, Papoulis memperkenalkan perpanjangan yang kuat dari teori sampling Shannon, menunjukkan bahwa sinyal terbatas-band dapat direkonstruksi secara tepat dari sampel respon sistem linear-invarian shift sampel pada 1 / m laju rekonstruksi.$m$$1/m$

Mungkin salah satu alasan mengapa sulit untuk mencari istilah ini adalah karena teorema pengambilan sampel umum Papoulis disebutkan lebih sering daripada "pengambilan sampel derivatif". [2] juga merupakan artikel yang sangat bagus yang menyajikan tinjauan luas tentang pendekatan pengambilan sampel pada saat publikasi. [3], juga oleh penulis yang sama merupakan perpanjangan dari [1] ke kelas fungsi yang tidak dibatasi.

Adapun aplikasi, dalam makalah baru-baru ini [4], pendekatan pengambilan sampel derivatif digunakan untuk merancang filter penundaan fraksional pita lebar dan penulis menunjukkan bahwa pengambilan sampel hasil turunan dalam kesalahan yang lebih kecil. Dari abstrak:

Dalam makalah ini, desain filter delay fraksional wideband diselidiki. Pertama, formula rekonstruksi metode derivatif sampling diterapkan untuk merancang filter penundaan fraksional pita lebar dengan menggunakan metode substitusi indeks dan jendela. ... Akhirnya, contoh numerik diperlihatkan untuk menunjukkan bahwa metode yang diusulkan memiliki kesalahan desain yang lebih kecil daripada filter penundaan fraksional konvensional tanpa mengambil sampel turunan dari sinyal.

Meskipun tentu saja ada lebih banyak, saya akan menahan diri dari memposting lebih banyak referensi dan aplikasi untuk membuatnya singkat (dan menghindarinya berubah menjadi daftar). Poin yang baik untuk mulai mencari adalah memeriksa makalah mana yang telah dikutip [1] - [3] dan mempersempit daftar berdasarkan abstrak.

[1]: A. Papoulis, "Ekspansi pengambilan sampel secara umum," IEEE Trans. Sirkuit dan Sistem , vol. 24, tidak. 11, hlm. 652-654, 1977.

[2]: M. Unser, "Pengambilan sampel - 50 tahun setelah Shannon," Prosiding IEEE , vol. 88, num. 4, hal. 569-587, 2000

[3]: M. Unser dan J. Zerubia, "Teori pengambilan sampel umum tanpa batasan batasan-batasan pita," IEEE Trans. Sirkuit dan Sistem II , vol. 45, num. 8, hal. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng dan SL Lee, "Desain Filter Delay Fraksional Wideband Menggunakan Metode Pengambilan Sampel Derivatif", IEEE Trans. Sirkuit dan Sistem I , vol. 57, num. 8, hal. 2087-2098, 2010

Saya tidak mengetahui adanya aplikasi dari skema pengambilan sampel seperti itu. Biasanya lebih sulit untuk mengambil sampel turunan sinyal secara akurat daripada nilai seketika (pembeda rentan terhadap noise frekuensi tinggi karena respons frekuensi berbentuk ramp). Seperti yang ditunjukkan oleh endolith dalam komentar di atas, jika Anda memiliki informasi yang cukup dalam sampel diskrit Anda untuk merekonstruksi sinyal asli, maka Anda dapat menghitung semua turunan yang Anda inginkan.

Itu adalah artikel yang sangat bagus yang Anda tautkan (saya belum pernah membacanya sebelumnya), dan pada kenyataannya, jawaban yang Anda cari ada di artikel itu di §2.3! Saya telah mereproduksi di bawah bagian §2.3 yang relevan.

2.3 Pengambilan sampel derivatif

Untuk menggambarkan situasi pengambilan sampel yang praktis, J. Fogel (1955) telah menyebutkan contoh panel instrumen pilot pesawat, yang secara tradisional terdiri dari tombol dengan pointer yang memberikan informasi tentang ketinggian, sikap, kecepatan, dll. Pilot pesawat memindai instrumen mereka , memperoleh informasi dari salah satu dari mereka secara berkala. Ada kemungkinan bahwa informasi turunan juga tersedia bagi pilot; misalnya, altimeter akan terlihat "tidak berotasi" pada kecepatan yang mengkhawatirkan jika pesawat berada dalam kondisi menukik! Bisa dibayangkan bahwa percepatan penunjuk dapat diamati juga;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Saya percaya bahwa ini masih merupakan aplikasi pengambilan sampel derivatif yang sangat valid, karena pesawat tidak ketinggalan zaman. Mungkin ada beberapa kemajuan teknologi lainnya (yang saya tidak sadari) yang mungkin membuat penggunaan pengambilan sampel derivatif tidak diperlukan hari ini, tetapi intinya masih tetap.

LJ Fogel (1955), Catatan tentang teorema pengambilan sampel , IRE Trans. Memberitahu. Teori 1 , 47–48

DL Jagerman dan LJ Fogel (1956), Beberapa aspek umum dari teorema sampling , IEEE Trans. Memberitahu. Teori 2 , 139–156