Apakah eksponensial kompleks satu-satunya fungsi eigen dari sistem LTI?

12

Apakah ada contoh fungsi eigen dari sistem linear time invariant (LTI) yang bukan eksponensial kompleks? Fungsi Eigen Justin Romberg dari Sistem LTI mengatakan bahwa fungsi eigen semacam itu memang ada, tetapi saya tidak dapat menemukannya.

linear-systems theory eigendecomposition Vinod
sumber

9

Semua fungsi eigen dari sistem LTI dapat dijelaskan dalam istilah eksponensial kompleks, dan eksponensial kompleks membentuk basis lengkap ruang sinyal. Namun, jika Anda memiliki sistem yang berdegenerasi , artinya Anda memiliki eigensubspasi dimensi> 1, maka vektor eigen ke nilai eigen yang sesuai semuanya adalah kombinasi linear dari vektor dari subruang. Dan kombinasi linear eksponensial kompleks dari frekuensi yang berbeda bukan eksponensial kompleks lagi.

Contoh yang sangat sederhana: Operator identitas 1 sebagai sistem LTI memiliki seluruh ruang sinyal sebagai eigensubspace dengan nilai eigen 1. Yang menyiratkan SEMUA fungsi adalah fungsi eigen.

Jazzmaniac
sumber

1

Kecuali fungsi nol tentu saja :) Hanya bercanda

Laurent Duval

0

Saya pikir saya sudah mengatakan respons saya dengan jelas --- tampaknya tidak :-). Pertanyaan aslinya adalah, "Apakah ada eigensignal di samping eksponensial kompleks untuk sistem LTI?". Jawabannya adalah, jika seseorang diberikan fakta bahwa sistemnya adalah LTI tetapi tidak ada yang diketahui, maka satu-satunya tanda yang dikonfirmasikan adalah eksponensial kompleks. Dalam kasus tertentu, sistem mungkin memiliki eigensignal tambahan juga. Contoh yang saya berikan adalah LPF yang ideal dengan tulus menjadi eigensignal. Perhatikan bahwa fungsi sinc bukan eigensignal dari sistem LTI yang berubah-ubah. Saya memberikan LPF dan sinc sebagai contoh untuk menunjukkan kasus non-sepele --- x (t) = y (t) akan memuaskan seorang ahli matematika tetapi bukan seorang insinyur: ->. Saya yakin orang dapat datang dengan contoh non-sepele spesifik lainnya yang memiliki sinyal lain sebagai eigensignal selain kompleks eksponensial.

Juga, cos dan dosa pada umumnya bukan eigensignal. Jika cos (wt) diterapkan dan outputnya adalah A cos (wt + theta), maka output ini tidak dapat dinyatakan sebagai kali konstan input (kecuali ketika theta adalah 0 atau pi, atau A = 0), yang merupakan kondisi dibutuhkan untuk sinyal menjadi eigensignal. Mungkin ada kondisi di mana cos dan dosa adalah eigensignal, tetapi mereka adalah kasus khusus dan tidak umum.

CSR

CSR
sumber

Apakah Anda yakin Anda memahami komentar saya untuk jawaban Anda yang lain? Intinya adalah bahwa untuk sistem LTI nyata diharapkan memiliki sinus nyata sebagai eigensignal. Itu tidak berarti bahwa semua sinus dari semua frekuensi adalah eigensignal. Saya secara khusus memberikan kondisi yang tepat untuk mereka, dan menjelaskan mengapa kondisi itu dipenuhi oleh sebagian besar sistem LTI.

Jazzmaniac

Juga, jangan lupa bahwa Anda mengedit jawaban Anda untuk mengubah artinya sedikit. Langkah dari "Untuk fungsi transfer rasional tidak ada eigensignal lain" ke "Untuk sistem sewenang-wenang, tidak ada sinyal eigen umum selain .." cukup besar. Jadi, seperti orang-orang tidak mengerti jawaban Anda dengan benar, itu agak berlebihan.

Jazzmaniac

0

$\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

CSR
sumber

2

Sebaliknya: aturannya adalah bahwa sistem LTI memang memiliki ruang eigens yang merosot dan karenanya vektor eigen yang bukan eksponensial kompleks. Pertimbangkan sistem dengan output nyata. Kemudian , yang berarti bahwa jika adalah nyata dan , maka Anda sudah memiliki ruang eigens dua dimensi dan sinus sebenarnya adalah vektor eigen. Itu berarti setiap sistem LTI yang memiliki respons fase yang menjadi kelipatan dari untuk memenuhi syarat. Itulah aturan dan bukan pengecualian.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

Jazzmaniac

1

sebenarnya, setiap eksponensial murni adalah fungsi eigen ke sistem LTI. jika Anda tidak keberatan berurusan dengan jumlah yang mendekati dengan cepat , maka tidak ada persyaratan teoritis untuk eksponensial menjadi kompleks atau nyata.

\infty

$\infty$

robert bristow-johnson

1

saya tahu saya mengedit jawaban Anda (untuk membuatnya lebih jelas dan lebih benar dengan semantik), tetapi jawaban Anda salah. adalah bukan sebuah eigenfunction umum untuk sistem LTI umum. ini adalah fungsi eigen untuk LTI tertentu yang memiliki tetapi tidak untuk yang lain.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

robert bristow-johnson

1

jelas "jika Anda tidak keberatan berurusan dengan jumlah yang mendekati ∞" tidak sama dengan "ruang sinyal yang biasanya dianggap ... ruang Hilbert yang dicurangi dari fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan dengan persegi." semua yang saya katakan adalah bahwa jika adalah input Anda, maka adalah output Anda (di mana adalah Laplace transformasi respon impuls LTI ). Sepertinya fungsi eigen bagi saya. tetapi Anda benar tentang spesifikasi CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

robert bristow-johnson

1

@ Fat32, menuntut ruang fungsi berperilaku baik bukan tentang stabilitas dan itu jauh dari tidak perlu atau sewenang-wenang. Sebagian besar hasil yang berguna dalam teori pemrosesan sinyal bergantung pada ruang sinyal yang berperilaku baik. Yang sangat berguna adalah teorema spektral ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), dan teorema ini membutuhkan ruang fungsi tertentu, di mana adalah pilihan yang memungkinkan. Jika Anda ingin menerapkan kerangka matematika ini (dan percayalah, Anda ingin), maka Anda tidak dapat menerima sinyal yang Anda usulkan sebagai eigensignal.

L^{2}

$L^2$

Jazzmaniac

0

Mungkin objek multidimensi spasial invarian seperti lensa dengan simetri melingkar. Ini disebut ekspansi Fourier Bessel. Tidak ada T untuk waktu tetapi hubungan domain frekuensi konvolusi terus

sumber

Apakah eksponensial kompleks satu-satunya fungsi eigen dari sistem LTI?

Jawaban: