Metode yang cukup sederhana adalah memilih basis dalam ruang fungsi dan mengubah transformasi integral menjadi matriks. Maka Anda bisa membalikkan matriks.
Secara matematis, inilah cara kerjanya: Anda memerlukan beberapa fungsi dasar ortonormal . (Anda bisa lolos tanpa mereka yang dinormalisasi juga, tapi lebih mudah untuk menjelaskan dengan cara ini.) Ortonormal berarti bahwa produk dalam ⟨ T i , T j ⟩ =Tsaya( x ) , di mana⟨ Tsaya, Tj⟩ = Δsaya j
⟨ Tsaya, Tj⟩ ≡ ∫bSebuahW( x ) Tsaya( x ) Tj( x )d x= δsaya j(1)
Di sini adalah beberapa fungsi bobot. Itu dan batas a dan b terkait dengan pilihan T i Anda . Setelah Anda memilih rangkaian fungsi dasar mana yang akan digunakan, Anda dapat memasukkan kode batasan dan fungsi bobot ke dalam program Anda.W( x )SebuahbTsaya
Dengan menggunakan ortonormalitas, Anda dapat mengekspresikan fungsi apa pun, seperti dan F ( y ) , sebagai kombinasi linear dari fungsi-fungsi dasar ini:f( x )F( y)
f(x)=∑iciTi(x)F(y)=∑jCjTj(y)(2)
di mana koefisien dihitung sebagai
ciCj=⟨f,Ti⟩=∫baW(x)f(x)Ti(x)dx=⟨F,Tj⟩=∫baW(y)F(y)Tj(y)dy(3)(4)
Anda dapat memverifikasi bahwa ekspresi ini konsisten dengan definisi koefisien, mis. (2), dan ortonormalitas, eq. (1)
Sekarang, hitung transformasi dari masing-masing fungsi dasar; sebut saja .T~i(y)
T~i(y)≡∫∞0yexp[−12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx
adalah fungsi, dan Anda dapat mengekspresikannya sebagai kombinasi linear dari fungsi basis seperti yang kami lakukan denganf(x)danF(y):T~i(y)f(x)F(y)
T~i(y)=∑kAikTk(y)
di mana elemen matriks ditentukan dengan cara yang sama seperti yang kami temukan c i dan C j di atas:AikciCj
Aik=⟨T~i,Tk⟩=∫baW(y)T~i(y)Tk(y)dy(5)
ikTi(x)W(x)
AikciCjf(x)F(y)
∑jCjTj(y)F(y)=∫∞0yexp[−12(y2+x2)]I0(xy)∑iciTi(x)f(x)dx=∑ici∫∞0yexp[−12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx=∑ici∑kAikTk(y)
CℓTℓ
⟨(∑jCjTj),Tℓ⟩∫baW(y)∑jCjTj(y)Tℓ(y)dy∑jCj∫baW(y)Tj(y)Tℓ(y)dy∑jCjδjℓCℓ=⟨(∑ici∑kAikTk),Tℓ⟩=∫baW(y)∑ici∑jAikTk(y)Tℓ(y)dy=∑ici∑kAik∫baW(y)Tk(y)Tℓ(y)dy=∑ici∑kAikδkℓ=∑iciAiℓ
ℓCj
CjciAijciAijCjF(y)
F(y)Cj
Cj=∑iciAij
A
ij1NNf(x)T1(x),…,TN(x)1MF(y)T1(y),…,TM(y)M=NMNNciAM×NA11ANM
[−1,1]TiW(x)=11−x2√a=−1b=1⟨Ti,Tj⟩=δijπ/2i=j≠0⟨T0,T0⟩=π