^{Catatan tentang kosakata: kata "hamiltonian" digunakan dalam pertanyaan ini untuk berbicara tentang matriks hermitian.}

Algoritma HHL tampaknya menjadi subjek penelitian aktif di bidang komputasi kuantum, sebagian besar karena memecahkan masalah yang sangat penting yang menemukan solusi sistem persamaan linear.

Menurut makalah asli, algoritma Quantum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) dan beberapa pertanyaan diajukan di situs ini

• Perkiraan fase kuantum dan algoritma HHL - diperlukan pengetahuan tentang nilai eigen?
• Algoritma kuantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 2 - Persiapan keadaan awal dan | b $\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

Algoritma HHL terbatas pada beberapa kasus tertentu. Berikut ini ringkasan (yang mungkin tidak lengkap!) Dari karakteristik algoritma HHL:

Algoritma HHL

Algoritma HHL memecahkan sistem linear persamaan dengan keterbatasan berikut:

Keterbatasan pada :$A$

• perlu menjadi Hermitian (dan hanya matriks Hermitian yang berfungsi, lihatdiskusi ini dalam obrolan).$A$
• eigen A harus dalam [ 0 , 1 ) (lihatestimasi fase Quantum dan algoritma HHL - pengetahuan tentang nilai eigen diperlukan?)$A$$[0,1)$
• kebutuhan untuk menjadi efisien diimplementasikan. Saat ini satu-satunya matriks yang diketahui memenuhi properti ini adalah: $e^{iAt}$
  • hamiltonians lokal (lihat Universal Quantum Simulators (Lloyd, 1996) ).
  • jarang hamiltonians (lihatGenerasi Negeri Kuantum Adiabatic dan Statistik Nol Pengetahuan (Aharonov & Ta-Shma, 2003)).$s$

Keterbatasan pada :$\vert b \rangle$

• harus efisien preparable. Ini adalah kasus untuk: $\vert b \rangle$
  1. Ekspresi spesifik dari . Misalnya negara | b ⟩ = n ⨂ i = 0 ( | 0 $\vert b \rangle$ dapat disiapkan secara efisien. $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. $\vert b \rangle$ mewakili diskritisasi dari distribusi probabilitas efisien terintegral (lihat Membuat superposisi yang sesuai dengan distribusi probabilitas efisien terintegral (Grover & Rudolph, 2002) ).

Keterbatasan pada (output):$\vert x \rangle$

• tidak dapat dipulihkan sepenuhnya dengan pengukuran. Satu-satunya informasi yang dapat kami pulihkan dari | x ⟩ adalah "informasi umum" ( "nilai ekspektasi" adalah istilah yang digunakan dalam kertas hhl asli) seperti ⟨ x | M $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

Pertanyaan: Memperhatikan semua keterbatasan ini dan membayangkan kita berada di tahun 2050 (atau mungkin pada tahun 2025, siapa yang tahu?) Dengan chip kuantum skala besar yang toleran terhadap kesalahan (yaitu kita tidak dibatasi oleh perangkat keras), apa masalah dunia nyata dapatkah algoritma HHL menyelesaikan (termasuk masalah di mana HHL hanya digunakan sebagai subrutin)?

Saya menyadari makalah analisis sumber daya beton dari algoritma sistem linear kuantum yang digunakan untuk menghitung penampang hamburan elektromagnetik dari target 2D (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg & Chapuran, 2016) dan implementasi yang sesuai di yang bahasa pemrograman Quipper dan saya mencari contoh-contoh nyata lain di mana hhl akan berlaku dalam praktek. Saya tidak memerlukan makalah yang diterbitkan, bahkan makalah yang tidak diterbitkan, saya hanya ingin memiliki beberapa contoh kasus penggunaan dunia nyata .

EDIT:

Bahkan jika saya tertarik pada setiap use-case, saya lebih suka beberapa contoh di mana HHL langsung digunakan, yaitu tidak digunakan sebagai subrutin dari algoritma lain.

Saya bahkan lebih tertarik pada contoh-contoh sistem linear yang dihasilkan dari diskresi operator diferensial yang dapat diselesaikan dengan HHL.

Tapi izinkan saya menekankan sekali lagi saya tertarik dengan setiap kasus penggunaan (subrutin atau tidak) yang Anda ketahui .

Beberapa tahun yang lalu ditunjukkan dalam algoritma Quantum dan metode elemen hingga oleh Montanaro dan Pallister bahwa algoritma HHL dapat diterapkan pada Metode Elemen Hingga (FEM) yang merupakan "teknik untuk secara efisien menemukan perkiraan numerik untuk solusi nilai batas. masalah (BVPs) untuk persamaan diferensial parsial, berdasarkan pada diskritisasi ruang parameter melalui jala terbatas " .

Mereka menunjukkan bahwa dalam konteks ini HHL dapat digunakan untuk mencapai (mungkin paling banyak) percepatan polinomial atas algoritma klasik standar ("metode gradien konjugat").

Sehubungan dengan kasus penggunaan dunia nyata, mereka menyatakan itu

$n$ tubuh, yang menyiratkan penyelesaian PDE yang ditentukan pada ruang konfigurasi dimensi 2n. Juga, mungkin ada keuntungan yang signifikan untuk masalah dalam keuangan matematika; misalnya, penetapan harga opsi multiasset memerlukan penyelesaian Black Persamaan -Scholes atas domain dengan dimensi yang diberikan oleh jumlah aset "

$A$

Rebentrost et al. baru - baru ini menggunakan algoritma HHL09 dalam makalah A Quantum Hopfield Neural Network (2018) mereka , untuk optimasi jaringan Hopfield. fungsi energi .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

Singkatnya, saya percaya bahwa begitu kita memiliki komputer kuantum dengan jumlah qubit dan waktu dekoherensi yang cukup besar, algoritma HHL akan menjadi salah satu subrutin yang paling berguna untuk setiap algoritma pembelajaran mesin kuantum (karena hampir semua pembelajaran mesin dan jaringan saraf) algoritma melibatkan beberapa bentuk "gradient descent" atau "optimization").