The algoritma estimasi fase kuantum (QPE) menghitung perkiraan nilai eigen terkait dengan vektor eigen yang diberikan dari gerbang kuantum .
Secara formal, biarkan menjadi vektor eigen dari , QPE memungkinkan kita menemukan , pendekatan bit terbaik dari sedemikian rupa sehingga dan
The algoritma hhl ( kertas asli ) mengambil sebagai masukan matriks yang memuaskan dan keadaan kuantum dan hitungan yang mengkodekan solusi dari sistem linear .
Catatan : Setiap matriks hermitian statisfy kondisi di .
Untuk melakukannya, algoritma HHL menggunakan QPE pada gerbang kuantum yang diwakili oleh . Berkat hasil aljabar linear, kita tahu bahwa jika adalah nilai eigen dari maka adalah nilai eigen dari . Hasil ini juga dinyatakan dalam algoritma sistem linear Quantum: primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (halaman 29, antara persamaan 68 dan 69).{ λ j } j A { e i λ j t } j U
Dengan bantuan QPE, langkah pertama algoritma HLL akan mencoba memperkirakan sedemikian sehingga . Ini membawa kita ke persamaan yaitu Dengan menganalisis sedikit implikasi dari kondisi dan , saya berakhir dengan kesimpulan bahwa jika (yaitu ), algoritma estimasi fase gagal untuk memprediksi nilai eigen yang tepat.e i 2 π q = e i λ j t 2 π q = λ j t + 2 k π ,θ = λ j t
Tetapi karena dapat berupa matriks hermitian apa pun, kita dapat memilih dengan bebas nilai eigennya dan khususnya kita dapat memilih nilai eigen besar yang sewenang-wenang untuk sehingga QPE akan gagal ( ).A λ j t
Dalam Desain Sirkuit Kuantum untuk Memecahkan Sistem Persamaan Linear (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2012) mereka memecahkan masalah ini dengan mensimulasikan , mengetahui bahwa nilai eigen dari adalah . Mereka menormalkan matriks (dan nilai eigennya) untuk menghindari kasus di mana . A{1,2,4,8}λjt
Di sisi lain, sepertinya parameter dapat digunakan untuk melakukan normalisasi ini.
Pertanyaan: Apakah kita perlu mengetahui batas atas nilai eigen untuk menormalkan matriks dan memastikan bahwa bagian QPE dari algoritma HHL akan berhasil? Jika tidak, bagaimana kita memastikan bahwa QPE akan berhasil (yaitu )?λ j t
Jawaban:
Anda harus tahu batasan pada nilai eigen (baik atas dan bawah). Seperti yang Anda katakan, Anda dapat menormalkan dengan men-rescaling . Memang, Anda harus melakukan ini untuk mendapatkan perkiraan seakurat mungkin, menyebarkan nilai pada rentang penuh . Membatasi nilai eigen biasanya bukan masalah. Misalnya, Anda mungkin memerlukan matriks jarang, sehingga tidak ada terlalu banyak elemen matriks nol di setiap baris. Memang, masalah spesifikasi mungkin memberi Anda terikat pada jumlah non zero-entri per baris, dan nilai maksimum dari setiap entri .t λ t 2 π A N QA t λt 2π A N Q
Kemudian Anda bisa menerapkan sesuatu seperti teorema lingkaran Gershgorin. Ini menyatakan bahwa nilai eigen maksimum dibatasi oleh dan minimum dibatasi lebih rendah oleh The adalah elemen matriks . min i a i i - ∑ j ≠ i | a i j | ≥-NQ. a i j A
Dalam nilai-nilai , , jika Anda khawatir bahwa untuk matriks besar (katakanlah qubit), sedangkan jumlah baris mungkin mudah dihitung (karena tidak ada banyak entri), maks semua baris mungkin butuh waktu lama waktu (karena ada baris), akan ada berbagai cara untuk mendapatkan perkiraan yang baik untuk itu (misalnya pengambilan sampel, atau menggunakan pengetahuan tentang struktur masalah). Kasus terburuk, Anda mungkin dapat menggunakan pencarian Grover untuk mempercepatnya sedikit.Q n 2 nN Q n 2n
sumber