Mengapa kita menggunakan set gerbang standar yang kita lakukan?

Set gerbang yang biasanya digunakan untuk perhitungan kuantum terdiri dari Cliffords qubit tunggal (Paulis, H dan S) dan -Z yang dikontrol dan / atau dikontrol.

Untuk melampaui Clifford kami ingin memiliki rotasi qubit tunggal penuh. Tetapi jika kita minimal, kita hanya memilih T (akar keempat Z).

Bentuk tertentu dari gerbang ini mengatur segala sesuatu. Seperti IBM's Quantum Experiment p, misalnya.

Kenapa gerbang ini, tepatnya? Sebagai contoh, H melakukan pekerjaan pemetaan antara X dan Z. S juga melakukan pekerjaan pemetaan antara Y dan X, tetapi faktor juga diperkenalkan. Mengapa kita tidak menggunakan kesatuan seperti Hadamard alih-alih S? Atau mengapa kita tidak menggunakan akar kuadrat dari Y alih-alih H? Tentu saja ini akan setara secara matematis, tetapi itu akan tampak sedikit lebih konsisten sebagai sebuah konvensi.$-1$$(X+Y)/\sqrt{2}$

Dan mengapa pintu gerbang non-Clifford kita menjadi akar keempat Z? Mengapa tidak X atau Y root keempat?

Kebaktian bersejarah apa yang menuntun pada pilihan gerbang khusus ini?

Siapa pun yang telah menulis makalah, dan bertanya pada diri sendiri apakah mereka dapat meningkatkan notasi, atau menyajikan analisis sedikit berbeda untuk membuatnya lebih elegan, akrab dengan kenyataan bahwa pilihan notasi, deskripsi, dan analisis dapat dipilih secara kebetulan. tanpa motivasi yang dalam. Tidak ada yang salah dengan itu, hanya saja tidak memiliki pembenaran yang kuat untuk menjadi cara tertentu. Dalam komunitas besar orang yang lebih peduli (mungkin dengan alasan) dengan menyelesaikan sesuatu daripada menyajikan gambaran terbersih yang mungkin, ini akan terjadi setiap saat.

Saya pikir jawaban akhir untuk pertanyaan ini akan selalu sejalan: sebagian besar adalah kecelakaan historis. Saya ragu bahwa ada alasan yang dipertimbangkan secara mendalam untuk gerbang-set sebagaimana adanya, tidak ada alasan yang dipertimbangkan secara mendalam mengapa kita berbicara tentang keadaan Bell agak lebih sering daripada negara| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$ .$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Tetapi kita masih dapat mempertimbangkan bagaimana kecelakaan itu terjadi, dan apakah ada sesuatu yang dapat kita pelajari tentang cara berpikir sistematis yang mungkin telah membawa kita ke sana. Saya berharap bahwa alasan pada akhirnya datang dari prioritas budaya para ilmuwan komputer, dengan bias yang dalam dan dangkal memainkan peran dalam bagaimana kita menggambarkan sesuatu.

Penyimpangan pada negara bagian Bell

Jika Anda akan tahan dengan saya, saya ingin memikirkan contoh dua negara Bell dan | Ψ - ⟩ sebagai contoh indikasi tentang bagaimana konvensi akhirnya sewenang-wenang dapat terjadi secara tidak sengaja, sebagian karena bias yang tidak memiliki akar yang dalam matematika.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

Satu alasan yang jelas untuk memilih lebih | Ψ - ⟩ adalah bahwa mantan lebih jelas simetris. Seperti yang kita tambahkan dua komponen untuk | Φ + ⟩ , tidak ada kebutuhan yang jelas untuk membela mengapa kita menulisnya seperti yang kita lakukan. Sebaliknya, kita bisa dengan mudah mendefinisikan | Ψ - ⟩ = ( | 10 ⟩ - | 01 ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ dengan tanda yang berlawanan, yang tidak lebih baik atau lebih buruk termotivasi daripada pilihan| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$ . Ini membuatnya merasa seolah-olah kita membuat pilihan yang lebih sewenang-wenang ketika mendefinisikan| Ψ-⟩.$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

Bahkan pilihan dasar agak fleksibel dalam hal : kita bisa menulis | Φ + ⟩ : = ( | + + ⟩ + | - - ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$ dan dapatkan status yang sama. Tetapi hal-hal mulai menjadi sedikit lebih buruk jika Anda mulai mempertimbangkan kondisi eigen| ±i⟩:=(|0⟩±i|1⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ darioperatorY: kami memiliki| Φ+⟩=(|+i⟩|-i⟩+|-i⟩|+i⟩) /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ . Ini masih terlihat sangat simetris, tetapi menjadi jelas bahwa pilihan dasar kita memainkan peran non-sepele dalam cara kita mendefinisikan| Φ+⟩.$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Lelucon ada pada kita. Alasan mengapa tampaknya "lebih simetris" daripada | Ψ - ⟩ karena | Ψ - ⟩ secara harfiah yang paling simetris negara dua-qubit, dan ini membuat lebih baik termotivasi daripada | Φ + ⟩ bukannya kurang termotivasi. The | Ψ - ⟩ negara adalah unik antisimetrik negara: negara yang unik yang merupakan - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ vektor eigen dari operasi SWAP, dan karena itu terlibat dalam uji SWAP terkontrol untuk pembedaan status qubit, antara lain.

• Kita bisa menggambarkan hingga fase global ( | a ⟩ | a ⊥ ⟩ - | a ⊥ ⟩ | a ⟩ ) /$\lvert \Psi^- \rangle$ untuk setiap status qubit tunggal| a⟩dan orthogonal negara| a⊥⟩, yang berarti bahwa sifat-sifat yang membuatnya menarik adalah independen dari pilihan dasar.$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• Bahkan fase global yang Anda gunakan untuk menulis negara tidak mempengaruhi definisi | Ψ - ⟩ hingga lebih dari fase global. Hal yang sama tidak berlaku untuk | Φ + ⟩ : sebagai latihan untuk pembaca, jika | 1 ′ ⟩ = i | 1 ⟩ , lalu apa ( | 00 ⟩ + | 1 ' 1 ' ⟩ ) /$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$ ?$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

Sementara itu, hanyalah satu keadaan terjerat secara maksimal dalam subruang simetris tiga dimensi pada dua qubit - subruang dari + 1 vektor eigen dari operasi SWAP - dan oleh karena itu tidak lebih dibedakan secara prinsip daripada, katakanlah | Φ - ⟩ a | 00 ⟩ - | 11 ⟩ .$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

Setelah mempelajari satu atau dua hal tentang status Bell, menjadi jelas bahwa minat kami pada khususnya dimotivasi hanya oleh simetri dangkal notasi, dan bukan sifat matematika yang benar-benar bermakna. Ini tentu pilihan yang lebih sewenang-wenang daripada | Ψ - ⟩ . Satu-satunya motivasi yang jelas untuk lebih memilih | Φ + ⟩ adalah alasan sosiologis yang berkaitan dengan menghindari tanda minus dan unit imajiner. Dan satu-satunya alasan yang dapat saya pikirkan adalah budaya: khususnya, agar dapat mengakomodasi siswa atau ilmuwan komputer dengan lebih baik.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Siapa yang memesan CNOT?

Anda bertanya mengapa kami tidak berbicara lebih banyak tentang . Bagi saya pertanyaan yang lebih menarik yang juga Anda tanyakan: kita lakukan, kita berbicara banyak tentangH=(X+Z) /$(X + Y)\big/\sqrt 2$ , saat$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$ apakah banyak hal yang sama? Saya telah melihat ceramah yang diberikan oleh fisikawan optik eksperimental kepada siswa, yang bahkan menggambarkan pertunjukan$\sqrt Y$ pada status dasar standarsebagaimelakukan gerbang Hadamard: tapi itu adalah$\sqrt Y$Gerbang Y itu sebenarnya lebih alami baginya. Operator$\sqrt Y$ juga lebih terkait langsung dengan operator Pauli, jelas. Seorang fisikawan yang serius mungkin menganggapnya aneh karena kita lebih banyak memikirkan Hadamard saja.$\sqrt Y$

Tapi ada gajah besar di kamar - ketika kita bicara tentang CNOT, mengapa kita berbicara tentang CNOT, bukan yang lain pelibatan gerbang yang simetris pada faktor tensornya, atau lebih baik lagi U = exp ( - i π ( Z ⊗ Z ) / 2 $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$mana yang lebih terkait erat dengan dinamika alami dari banyak sistem fisik? Belum lagi kesatuan seperti atau varian lainnya.$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

Alasannya, tentu saja, adalah bahwa kita secara eksplisit tertarik pada perhitungan daripada fisika semata. Kami peduli tentang CNOT karena cara mentransformasikan basis standar (basis yang lebih disukai bukan karena alasan matematika atau fisik, tetapi untuk alasan yang berpusat pada manusia ). Gerbang di atas adalah sedikit misterius dari sudut seorang ilmuwan komputer: tidak jelas di permukaan apa itu untuk , dan lebih buruk, itu adalah penuh idih koefisien kompleks. Dan gerbang U ′ bahkan lebih buruk. Sebaliknya, CNOT adalah operator permutasi, penuh 1s dan 0s, mengubah basis standar dengan cara yang jelas relevan bagi ilmuwan komputer.$U$$U'$

Meskipun saya membuat sedikit bersenang-senang di sini, pada akhirnya inilah yang kami pelajari perhitungan kuantum . Fisikawan dapat memiliki wawasan yang lebih dalam tentang ekologi operasi elementer, tetapi apa yang diperhatikan oleh ilmuwan komputer pada akhirnya adalah bagaimana hal-hal primitif dapat dikomposisikan ke dalam prosedur komprehensif yang melibatkan data klasik. Dan itu berarti tidak terlalu peduli tentang simetri pada level logis yang lebih rendah, selama mereka bisa mendapatkan apa yang mereka inginkan dari level yang lebih rendah itu.

Kami berbicara tentang CNOT karena itu adalah gerbang yang kami ingin habiskan waktu untuk memikirkannya. Dari perspektif fisik, gerbang seperti dan U ′ seperti di atas dalam banyak kasus adalah operasi yang akan kami pikirkan untuk mewujudkan CNOT, tetapi CNOT adalah hal yang kami pedulikan.$U$$U'$

Dalam, dan tidak terlalu dalam, alasan untuk memilih gerbang Hadamard

Saya berharap bahwa prioritas ilmuwan komputer memotivasi banyak konvensi kami, seperti mengapa kami berbicara tentang , bukannya$(X + Z)\big/\sqrt 2$ .$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

Operasi Hadamard sudah sedikit menakutkan bagi para ilmuwan komputer yang belum mengenal teori informasi kuantum. (Cara itu digunakan terdengar seperti non-determinisme, dan bahkan menggunakan bilangan irasional!) Tapi begitu seorang ilmuwan komputer melewati jijik awal, gerbang Hadamard memang memiliki sifat yang mereka sukai: setidaknya itu hanya melibatkan koefisien nyata, itu adalah inversi sendiri, dan Anda bahkan dapat menggambarkan basis eigen hanya dengan koefisien nyata.$H$

Salah satu cara di mana Hadamard sering muncul adalah dalam menggambarkan beralih antara basis standar dan '' dasar konjugat | + ⟩ , | - ⟩ (yaitu untuk mengatakan, eigenbasis dari X operator, yang bertentangan dengan Y operator) - yang disebut 'sedikit' dan basis 'fase', yang dua basis konjugat bahwa Anda dapat mengekspresikan hanya menggunakan koefisien nyata . Tentu saja, $\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$ juga mentransformasikan antara basis-basis ini, tetapi juga memperkenalkan transformasi non-sepele jika Anda melakukannya dua kali. Jika Anda ingin memikirkan "beralih antara dua pangkalan yang berbeda di mana Anda dapat menyimpan informasi", gerbang Hadamard lebih baik. Tapi - ini hanya bisa dipertahankan jika Anda pikir itu penting untuk dimiliki$\sqrt Y$

• gerbang mentransformasikan antara basis standar dan basis yang sangat spesifik | + ⟩ , | - ⟩ ;$H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• jika Anda peduli secara khusus tentang yang memesan 2 .$H$$2$

Anda mungkin memprotes dan mengatakan bahwa sangat wajar untuk mempertimbangkan beralih antara basis 'bit' dan 'fase'. Tapi dari mana kita mendapatkan gagasan tentang dua basis spesifik untuk 'bit' dan 'fase'? Satu-satunya alasan mengapa kami memilih sebagai '' dasar fase, sebagai lawan misalnya untuk | + I ⟩ , | - i ⟩ , karena hal itu dapat dinyatakan dengan hanya koefisien nyata di dasar standar. Adapun untuk memilih operator dengan pesanan $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$, untuk menyatu dengan gagasan beralih, ini tampaknya menunjukkan preferensi tertentu untuk mempertimbangkan hal-hal dengan 'membalik' daripada perubahan basis yang dapat dibalik. Prioritas ini menampar kepentingan ilmu komputer.

Berbeda halnya dengan versus | Ψ - ⟩ , ilmuwan komputer tidak memiliki satu benar-benar baik tingkat tinggi argumen untuk memilih H lebih $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$ : gerbang Hadamard adalah representasi kesatuan dari transformasi Fourier boolean (yaitu, transformasi Fourier quantum pada qubit). Ini tidak terlalu penting dari perspektif fisik, tetapi sangat membantu dari perspektif komputasi, dan sebagian besar dari hasil teoritis dalam komputasi kuantum dan komunikasi pada akhirnya bertumpu pada pengamatan ini. Tetapi transformasi Fourier boolean sudah matang dalam asimetri ilmu komputer, dalam mengandaikan pentingnya basis standar dan hanya menggunakan koefisien nyata: operator seperti(X+Y) /$\sqrt Y$ tidak akan pernah dipertimbangkan dengan alasan ini.$(X + Y)\big/\sqrt 2$

Argumen diagonal

Jika Anda seorang ilmuwan komputer, begitu Anda memiliki Hadamard dan CNOT, yang tersisa hanyalah membuat fase rumit yang rumit itu diurutkan sebagai renungan. Fase-fase ini tentu saja sangat penting. Tetapi persis seperti cara kita berbicara tentang fase relatif mengungkapkan ketidaknyamanan dengan ide tersebut. Bahkan menggambarkan basis standar sebagai basis 'bit', untuk menyimpan informasi, menekankan bahwa apa pun 'fase' itu, itu bukan cara yang biasa Anda pertimbangkan untuk menyimpan informasi. Fase segala macam adalah sesuatu yang harus dihadapi setelah bisnis 'nyata' berurusan dengan besarnya amplitudo; setelah menghadapi kenyataan bahwa seseorang dapat menyimpan informasi lebih dari satu basis. Kami hampir tidak berbicara sama sekali tentang bahkan fase relatif imajiner murni jika kami bisa membantu.

$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

Dan tidak terlalu cepat - karena para ilmuwan komputer tidak benar-benar peduli dengan tepat apa operasi primitif yang digunakan begitu mereka dapat membenarkan beralih ke sesuatu yang lebih tinggi.

Ringkasan

Saya tidak berpikir kemungkinan ada alasan yang sangat menarik untuk termotivasi secara fisik mengapa kita menggunakan gerbang tertentu. Tetapi tentu saja mungkin untuk mengeksplorasi alasan yang termotivasi secara psikologis mengapa kita melakukannya. Di atas adalah spekulasi ke arah ini, diinformasikan oleh pengalaman panjang.