Memasukkan informasi klasik ke dalam norma keadaan kuantum

Menurut Pengantar pembelajaran mesin kuantum (Schuld, Sinayskiy & Petruccione, 2014) , Seth Lloyd et al. mengatakan dalam makalah mereka: algoritma Quantum untuk diawasi dan tanpa pengawasan mesin belajar bahwa informasi klasik dapat dikodekan ke dalam norma keadaan kuantum $\langle x|x \rangle = |\vec{x}|^{-1}\vec{x}$ . Saya tidak yakin saya mengerti notasi mereka.

Mari kita ambil contoh sederhana. Katakanlah saya ingin menyimpan array ini: $V = \{3,2,1,2,3,3,5,4\}$ dari ukuran $2^{3}$ dalam keadaan sistem kuantum $3$ -qubit.

Saya dapat mewakili keadaan sistem $3$ qubit sebagai:

$|\psi\rangle = a_1|000\rangle + a_2|001\rangle + a_3|010\rangle + a_4|011\rangle + a_5|100\rangle + a_6|101\rangle + a_7|110\rangle + a_8|111\rangle$ (menggunakan basis standar) di mana$a_i\in \Bbb C \ \forall \ 1 \leq i\leq 8$ .

Aku bisa mewakili $V$ sebagai vektor $\vec{V} = 3 \hat{x}_1 + 2 \hat{x}_2 +... + 4 \hat{x}_8$ di mana $\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_8\}$ membentuk basis ortonormal di $\Bbb R^{8}$ , dan menulis norma Euclidean standar untuk sebagai .$|\vec{V}|=\sqrt{3^2+2^2+...+4^2}$

Setelah ini, aku bingung bagaimana aku mendapatkan koefisien . Haruskah saya hanya menetapkan 3 untuk sebuah 1 , 2 untuk sebuah 2 dan seterusnya?$a_1,a_2,..,a_8$$3$$a_1$$2$$a_2$

Namun, sekali lagi :

Pertimbangkan vektor vektor kompleks dimensional → v dengan komponen { v i = | v i | e i ϕ i } . Asumsikan bahwa { | v i | , ϕ i } disimpan sebagai angka floating point dalam memori akses kuantum acak. Membangun log 2 N keadaan kuantum qubit | v ⟩ = | → v | - $N=2^{n}$$\vec{v}$$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$$\{|v_i|,\phi_i\}$$\log_2 N$ kemudian mengambillangkah-langkahO(log2N)selama sub-norma juga diberikan dalam qRAM yang dalam hal ini keadaan apa pun dapat dibangun dalamlangkah-langkahO(logN).$|v\rangle = |\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$\mathcal{O}(\log_2 N)$$\mathcal{O}(\log N)$

Pertama , saya tidak mengerti gagasan mereka dari dimensi yang kompleks vektor. Jika masing-masing komponen array data klasik mereka memiliki dua angka floating point, tidak akan menyandikan itu ke dalam keadaan kuantum n -qubit setara dengan menyimpan array klasik ukuran 2 × 2 n dalam sistem n -qubit? Ya, saya tahu bahwa suatu 1 , sebuah 2 , . . , Sebuah 2 n adalah bilangan kompleks memiliki kedua besar dan arah, dan karenanya dapat menyimpan 2 × 2 $2^n$$n$$2\times 2^{n}$$n$$a_1,a_2,..,a_{2^n}$$2\times 2^{n}$jumlah informasi klasik. Tetapi mereka tidak menyebutkan di mana pun bagaimana mereka akan mengkonversi data klasik (katakanlah dalam bentuk array ) ke dalam bentuk itu. Selain itu, tampaknya ada batasan bahwa fase bilangan kompleks a saya hanya dapat berkisar dari - π hingga + π .$2\times 2^{n}$$a_i$$-\pi$$+\pi$

Kedua , mari kita asumsikan bahwa array data awal kami ingin menyimpan dalam sistem kuantum kami benar-benar .$V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$

Jika mereka mendefinisikan sebagai | → v | - 1 / 2 → v kemudian | V ⟩ dalam contoh kita akan terlihat seperti ( $|v\rangle$$|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$|V\rangle$. Tapi kemudian kita kehilangan semua informasi tentang fase$(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ , bukan? Jadi apa gunanya memulai denganvektor yangkompleks(memiliki fase dan besaran) di tempat pertama, ketika kita kehilangan informasi itu ketika mengkonversi ke | V ⟩ sih? Atau apakah kita menulis seharusnya mempertimbangkan | V ⟩ sebagai ( $\phi_i$$|V\rangle$$|V\rangle$? $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$

Akan sangat membantu jika seseorang dapat menjelaskan di mana saya salah menggunakan beberapa contoh nyata mengenai penyimpanan data klasik dalam sistem -qubit.$n$

I don't understand their notion of a $2^n$ dimensional complex vector. If each of the components of their classical data array has two floating point numbers, wouldn't encoding that into a $n$-qubit quantum state be equivalent to storing a $2\times 2^{n}$ size classical array in a $n$-qubit system?

You are absolutely correct that a $2\times 2^n$ classical array of nubers is stored in an n-qubit system.

But they are absolutely right that the vector's dimension is $2^n$. This is because the vector has $2^n$ rows, where each entry has 2 classical numbers.

Anda juga dapat menyimpan vektor yang sama dalam array : 2 n baris diisi dengan bagian nyata dan 2 n baris oleh bagian imajiner, tetapi vektor ini tidak akan berevolusi sesuai dengan persamaan Schrödinger . $2\times 2^n$$2^n$$2^n$

Saya harap ini membantu menyelesaikan bagian pertanyaan ini.

Tetapi mereka tidak menyebutkan di mana pun bagaimana mereka akan mengkonversi data klasik (katakanlah dalam bentuk array ) ke dalam bentuk itu.$2\times 2^{n}$

Kamu benar. Sama seperti Peter Shor tidak pernah menyebutkan di mana pun bagaimana qubit-nya untuk anjak piutang akan disiapkan.

This is up to the experimentalists, and it is implementation-dependent. This means that for NMR qubits you'd convert the classical data into qubits differently from superconducting qubits, or ion-trap qubits, or quantum dot qubits, etc. Therefore I do not blame Shor, or any of the 6 authors of the 2 papers you mentioned (who are all theorists by the way), for not explaining how the qubits will be prepared.

let us assume that the initial data array we wanted to store in our quantum system was actually $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$. If they define $|v\rangle$ as $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ then $|V\rangle$ in our example would look something like $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$. But then we're losing all the information about the phases $\phi_i$, isn't it? So what was the use of starting with a complex vector (having both a phase and magnitude) in the first place, when we're losing that information when converting to $|V\rangle$ anyway?

You had it earlier in your question! "Consider the vector $N=2^{n}$ dimensional complex vector $\vec{v}$ with components $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$." Therefore the vector is:

Notice:
1) There's $2^n$ entries, not $2 \times 2^n$
2) There is NO norm around the phases, so this is why you have lost all information about the phases, because you put extra norm symbols where they shouldn't be :)

Or are we writing supposed to consider $|V\rangle$ as $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$?

Closer! The correct answer is the vector I wrote above, which can be written like this:

$|\vec{v}|^{-1/2}\left( e^{i \phi_1} |00 \cdots 00\rangle + e^{i \phi_2} |00 \cdots 01\rangle + \cdots + e^{i \phi_{N}} |1\cdots 1\rangle\right)$.

For your specific example:

The purpose of all of this is so that the sum of the squares of the coefficients is 1, which in my equation is true because the numberator is:

I hope that clears it up!