Tujuan menggunakan Fidelity dalam Acak Benchmarking

Seringkali, ketika membandingkan dua matriks kerapatan, dan (seperti ketika adalah implementasi eksperimental dari ideal ), kedekatan kedua kondisi ini diberikan oleh kesetiaan keadaan kuantum dengan perselingkuhan didefinisikan sebagai . $\rho$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$

1 - F

$1-F$

Demikian pula, ketika membandingkan seberapa dekat implementasi gerbang dengan versi yang ideal, kesetiaan menjadi mana adalah ukuran Haar atas status murni. Tidak mengherankan, ini bisa menjadi relatif tidak menyenangkan untuk dikerjakan.

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$

d ψ

$d\psi$

Sekarang, mari kita mendefinisikan sebuah matriks dalam kasus matriks kepadatan, atau ketika bekerja dengan gerbang. Kemudian, norma-norma Schatten ¹ , seperti , , atau norma lainnya, seperti norma intan dapat dihitung. $M = \rho - \sigma$ $M = U - \tilde U$ $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

Norma-norma ini seringkali lebih mudah untuk menghitung ² daripada Fidelity di atas. Yang memperburuk masalah adalah bahwa dalam penghitungan pembandingan acak , perselingkuhan bahkan tidak tampak sebagai ukuran yang hebat , namun adalah angka yang digunakan setiap kali saya melihat ketika melihat nilai pembandingan untuk pemroses kuantum. ³

Jadi, Mengapa kesetiaan (dalam) nilai masuk untuk menghitung kesalahan gerbang dalam prosesor kuantum (menggunakan pembandingan acak), ketika tampaknya tidak memiliki makna yang bermanfaat dan metode lain, seperti norma Schatten, lebih mudah untuk menghitung di komputer klasik?

^{1 P-norma Schatten dari $M$ adalah $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 yaitu tancapkan model noise pada komputer (klasik) dan simulasikan}

^{3 Seperti QMX5 IBM}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity Mithrandir24601
sumber

Nielsen dan Chuang dalam buku mereka "Komputasi Quantum dan Informasi Quantum" memiliki bagian (Bab 9) tentang pengukuran jarak untuk informasi kuantum.

Secara mengejutkan mereka mengatakan dalam Bagian 9.3 "Seberapa baik saluran kuantum menyimpan informasi?" bahwa ketika membandingkan kesetiaan dengan norma jejak:

Menggunakan sifat-sifat jarak jejak yang ditetapkan pada bagian terakhir tidak sulit, untuk sebagian besar, untuk memberikan pengembangan paralel berdasarkan jarak jejak. Namun, ternyata kesetiaan adalah alat yang lebih mudah untuk dihitung, dan untuk alasan itu kami membatasi diri pada pertimbangan berdasarkan kesetiaan.

Saya membayangkan ini adalah bagian mengapa kesetiaan digunakan. Tampaknya itu cukup berguna sebagai ukuran jarak statis.

Tampaknya juga ada perpanjangan kesetiaan yang relatif langsung ke ansambel negara

F = \sum_{j} {hal}_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

$p_j$ probabilitas mempersiapkan sistem dalam status , dan saluran khusus yang berisik, . $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

Ada juga ekstensi untuk kesetiaan belitan, untuk mengukur seberapa baik suatu saluran mempertahankan belitan. Diberikan negara diasumsikan terjerat ke dunia luar dalam beberapa cara, dan pemurnian negara (sistem fiktif ), sedemikian rupa sehingga murni. Negara bagian mengalami dinamika dalam saluran . Bilangan prima menunjukkan keadaan setelah penerapan operasi kuantum. adalah peta identitas pada sistem . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

Ada beberapa rumus yang diturunkan untuk menyederhanakan perhitungan kesetiaan dan kesetiaan keterjeratan yang juga diberikan dalam bab ini.

Salah satu sifat yang menarik dari kesetiaan keterjeratan adalah bahwa ada formula yang sangat sederhana yang memungkinkannya untuk dihitung secara tepat.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

di mana 'elemen operasi' memenuhi hubungan kelengkapan. Mungkin orang lain dapat berkomentar tentang implementasi yang lebih praktis, tetapi ini yang saya kumpulkan dari membaca. $E_i$

Pembaruan 1: Re M.Stern

Itu referensi yang sama Nielsen dan Chuang. Mereka mengomentari itu dengan mengatakan "Anda mungkin bertanya-tanya mengapa kesetiaan yang muncul di sisi kanan definisi adalah kuadrat. Ada dua jawaban untuk pertanyaan ini, satu sederhana, dan satu kompleks. Jawaban sederhana adalah bahwa termasuk membuat istilah persegi ini membuat kesetiaan ensemble lebih alami terkait dengan kesetiaan keterjeratan, sebagaimana didefinisikan di bawah ini.Jawabannya yang lebih kompleks adalah bahwa informasi kuantum, saat ini, dalam keadaan bayi dan tidak sepenuhnya jelas apa definisi yang benar untuk pengertian seperti informasi pelestariannya! Namun, seperti yang akan kita lihat di Bab 12, kesetiaan rata-rata ensemble dan kesetiaan keterjeratan memunculkan teori kaya informasi kuantum, yang membuat kita percaya bahwa langkah-langkah ini berada di jalur yang benar,

Untuk menjawab pertanyaan kedua Anda mengapa tidak melihat kesetiaan , ada poin bagus yang disebutkan dalam "Ukuran pembedaan antara ansambel status kuantum" yang saya pikir ada di PhysRevA tetapi ada versi arXiv di sini . $\bar{\rho}$

Poin yang mereka sebutkan pada hal 4, adalah misalkan Anda memiliki dua ensemble dan yang kebetulan memiliki matriks kepadatan rata-rata ensemble yang sama, , kemudian fidelity tidak dapat membedakan keduanya. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Pembaruan 2: Re Mithrandir24601 Jadi satu definisi untuk gerbang kesetiaan termotivasi dengan memikirkan apa perilaku terburuk dari saluran , untuk keadaan input yang diberikan. $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Karena konkavitas dalam kedua argumen yang dapat Anda batasi ke keadaan murni dalam meminimalkan ini, kesetaraan di bagian kedua hanyalah notasi.

Dalam mendefinisikan seberapa baik gerbang diimplementasikan seseorang dapat melihat juga pada kasus terburuk implementasi gerbang kesatuan oleh saluran dengan mendefinisikan $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Dalam rumus yang Anda berikan dan kertas yang Anda tautkan, mereka berintegrasi lebih dari , dengan ukuran yang sesuai . Ini membuat saya berpikir ini seharusnya dianggap sebagai kesetiaan rata-rata , yang dapat Anda bayangkan mungkin lebih berguna dalam eksperimen praktis, terutama jika Anda mengulangi eksperimen. Mungkin tidak mungkin mencapai minimum yang tepat. $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

Ada versi makalah arXiv di sini oleh Michael Nielsen di mana ia berbicara tentang kesetiaan gerbang rata-rata.

$[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

kesulitan
sumber

Itu memberikan penjelasan yang masuk akal mengapa itu bisa bermanfaat bagi negara dan sedikit tentang kesetiaan keterjeratan benar-benar menarik, tentu saja. Namun, masalah yang saya miliki adalah (sesuai dengan makalah ini ) bahwa melakukan hal yang sama untuk gerbang tidak bekerja dengan cara yang sama. (Kecuali saya melewatkan sesuatu yang lain)

Mithrandir24601

Bisakah Anda memberikan referensi untuk kesetiaan ansambel yang Anda sebutkan? Mengapa itu berbeda dari kesetiaan negara campuran

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$ ?

M. Stern

@ M.Stern Saya sudah memindahkan komentar saya ke pembaruan.

snulty

@ Mithrandir24601 Permintaan maaf karena lambat untuk membalas, saya telah berusaha mencari waktu untuk membaca makalah yang Anda tautkan dan waktu untuk menulis tanggapan! Lihat Pembaruan 2.

snulty

Sedangkan untuk samping Anda, Anda benar - Saya hanya menjadi fisikawan yang malas. Ini adalah (untuk pengetahuan saya) ukuran Haar, tapi menyebutnya sebagai 'Haar ukuran lebih negara', ya, tidak persis pernyataan yang paling teknis akurat yang pernah ... Apa sedikit lebih mengkhawatirkan adalah bahwa arXiv tampaknya saat ini menjadi turun :(

Mithrandir24601

Tujuan menggunakan Fidelity dalam Acak Benchmarking

Jawaban: