Bukti ketidaksetaraan informasi Holevo

Misalkan saya memiliki klasik-klasik-kuantum saluran $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , di mana $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ adalah set terbatas dan $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ adalah himpunan matriks kepadatan pada terbatas dimensi, kompleks Hilbert ruang $\mathcal{H}$ .

Misalkan $p_x$ adalah distribusi seragam pada $\mathcal{X}$ dan $p_y$ adalah distribusi seragam pada $\mathcal{Y}$ . Selanjutnya, tentukan untuk distribusi $p_1$ pada $\mathcal{X}$ dan $p_2$ pada $\mathcal{Y}$ , informasi Holevo

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

di mana $H$ adalah entropi von Neumann.

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Sejauh ini, saya belum yakin bahwa pernyataan itu benar sejak awal. Saya belum membuat banyak kemajuan dalam membuktikan hal ini, tetapi sepertinya semacam ketidaksetaraan segitiga dapat memverifikasi klaim.

Terima kasih atas saran mengenai apakah pernyataan itu harus diterima dan tips tentang cara membuktikannya.

quantum-information entropy Stephen Diadamo
sumber

Seperti jawabannya, saya memang bermaksud menggunakan argmax dan bukan supremum.

Stephen Diadamo

Jawaban:

Tampaknya pernyataan itu tidak benar secara umum. Misalkan , adalah ruang Hilbert yang sesuai dengan qubit tunggal, dan didefinisikan sebagai Jika adalah distribusi seragam, pilihan optimal untuk adalah dan , yang menghasilkan , yang merupakan maksimum nilai yang mungkin. (Saya menganggap Anda bermaksud mendefinisikan $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$ dan sebagai argmax dari ekspresi itu, bukan supremum.) Demikian juga, jika seragam, dan optimal, dan nilainya sama. Namun, , sehingga ketidaksetaraan tidak berlaku.

p_{2}

$p_2$

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

John Watrous
sumber