Seberapa akurat mendekati Bumi sebagai bola?

Apa tingkat kesalahan yang saya hadapi ketika mendekati bumi sebagai bola? Secara khusus, ketika berhadapan dengan lokasi titik dan, misalnya, jarak lingkaran besar di antara mereka.

Apakah ada studi tentang kesalahan kasus rata-rata dan terburuk dibandingkan dengan ellipsoid? Saya bertanya-tanya berapa banyak akurasi yang akan saya korbankan jika saya pergi dengan bola demi perhitungan yang lebih mudah.

Skenario khusus saya melibatkan pemetaan pemetaan WGS84 secara langsung seolah-olah mereka adalah koordinat pada bidang yang sempurna (dengan radius rata - rata yang ditentukan oleh IUGG) tanpa transformasi apa pun.

Singkatnya, jaraknya bisa dalam kesalahan hingga sekitar 22 km atau 0,3%, tergantung pada poin yang dimaksud. Itu adalah:

• Kesalahan tersebut dapat diekspresikan dalam beberapa cara alami dan berguna , seperti kesalahan (i) (residual), sama dengan perbedaan antara dua jarak yang dihitung (dalam kilometer), dan (ii) kesalahan relatif, sama dengan perbedaan yang dibagi oleh nilai "benar" (ellipsoidal). Untuk menghasilkan angka yang nyaman untuk digunakan, saya gandakan rasio ini dengan 1000 untuk mengekspresikan kesalahan relatif dalam bagian per seribu .

• Kesalahan tergantung pada titik akhir. Karena simetri rotasi ellipsoid dan bola dan simetri bilateral (utara-selatan dan timur-barat), kita dapat menempatkan salah satu titik akhir di suatu tempat di sepanjang meridian utama (bujur 0) di belahan bumi utara (lintang antara 0 dan 90) ) dan titik akhir lainnya di belahan bumi timur (bujur antara 0 dan 180).

Untuk mengeksplorasi dependensi ini, saya telah merencanakan kesalahan antara titik akhir di (lat, lon) = (mu, 0) dan (x, lambda) sebagai fungsi garis lintang x antara -90 dan 90 derajat. (Semua titik secara nominal pada ketinggian ellipsoid nol.) Dalam gambar, baris sesuai dengan nilai mu di {0, 22.5, 45, 67.5} derajat dan kolom ke nilai-nilai lambda di {0, 45, 90, 180} derajat. Ini memberi kita pandangan yang baik tentang spektrum kemungkinan. Seperti yang diharapkan, ukuran maksimumnya kira-kira rata (sekitar 1/300) kali sumbu utama (sekitar 6700 km), atau sekitar 22 km.

Kesalahan

Kesalahan relatif

Plot kontur

Cara lain untuk memvisualisasikan kesalahan adalah dengan memperbaiki satu titik akhir dan membiarkan yang lain bervariasi, membentuk kesalahan yang muncul. Di sini, misalnya, adalah plot kontur di mana titik akhir pertama berada di 45 derajat lintang utara, 0 derajat bujur. Seperti sebelumnya, nilai kesalahan dalam kilometer dan kesalahan positif berarti perhitungan bola terlalu besar:

Mungkin lebih mudah dibaca ketika melilit dunia:

Titik merah di selatan Perancis menunjukkan lokasi titik akhir pertama.

Sebagai catatan, berikut adalah kode Mathematica 8 yang digunakan untuk perhitungan:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Dan salah satu perintah merencanakan:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Saya telah menjelajahi pertanyaan ini baru-baru ini. Saya pikir orang ingin tahu

1. jari-jari bulat apa yang harus saya gunakan?
2. apa kesalahan yang dihasilkan?

Metrik yang masuk akal untuk kualitas perkiraan adalah kesalahan relatif absolut maksimum dalam jarak lingkaran-besar

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

dengan maksimum dievaluasi untuk semua pasangan poin yang memungkinkan.

Jika perataan f kecil, jari-jari bulat yang meminimalkan err sangat dekat dengan (a + b) / 2 dan kesalahan yang dihasilkan adalah sekitar

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(dievaluasi dengan 10 ^ 6 pasang poin yang dipilih secara acak). Kadang-kadang disarankan untuk menggunakan (2 * a + b) / 3 sebagai jari-jari bola. Ini menghasilkan kesalahan yang sedikit lebih besar, err = 5 * f / 3 = 0,56% (untuk WGS84).

Geodesik yang panjangnya paling diremehkan oleh perkiraan bola terletak dekat kutub, misalnya, (89,1,0) hingga (89,1,180). Geodesik yang panjangnya ditaksir terlalu tinggi oleh aproksimasi bola berbentuk meridional dekat khatulistiwa, misalnya, (-0,1,0) hingga (0,1,0).

ADDENDUM : Berikut cara lain untuk mendekati masalah ini.

Pilih pasangan titik yang terdistribusi secara merata di ellipsoid. Ukur jarak ellipsoidal s dan jarak pada unit sphere t . Untuk setiap pasangan titik, s / t memberikan jari-jari bulat yang setara. Rata-rata jumlah ini pada semua pasangan poin dan ini memberikan rata-rata radius bola yang setara. Ada pertanyaan bagaimana tepatnya rata-rata harus dilakukan. Namun semua pilihan saya coba

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

semua keluar dalam beberapa meter dari radius rata-rata yang direkomendasikan IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Dengan demikian, nilai ini meminimalkan kesalahan RMS dalam perhitungan jarak bola. (Namun itu menghasilkan kesalahan relatif maksimum sedikit lebih besar dibandingkan dengan ( a + b ) / 2;. Lihat di atas) Mengingat bahwa R ₁ kemungkinan besar akan digunakan untuk tujuan lain (perhitungan daerah dan sejenisnya), ada alasan yang baik untuk tetap dengan pilihan ini untuk perhitungan jarak.

Intinya :

• Untuk segala jenis pekerjaan sistematis, di mana Anda dapat mentolerir kesalahan 1% dalam perhitungan jarak, gunakan lingkup jari-jari R ₁ . Kesalahan relatif maksimum adalah 0,56%. Gunakan nilai ini secara konsisten saat Anda memperkirakan bumi dengan bola.
• Jika Anda membutuhkan akurasi tambahan, pecahkan masalah ellipsoidal geodesic.
• Untuk bagian belakang perhitungan amplop, gunakan R ₁ atau 6400 km atau 20000 / pi km atau a . Ini menghasilkan kesalahan relatif maksimum sekitar 1%.

LAMPIRAN LAIN : Anda dapat memeras sedikit lebih akurat dari jarak lingkaran besar dengan menggunakan μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (garis lintang pembetulan orang miskin) sebagai garis lintang dalam perhitungan lingkaran besar. Ini mengurangi kesalahan relatif maksimum dari 0,56% menjadi 0,11% (menggunakan R ₁ sebagai jari-jari bola). (Tidak jelas apakah itu benar-benar layak untuk mengambil pendekatan ini sebagai lawan menghitung jarak geodesik ellipsoidal secara langsung.)