Mengapa kita menggunakan dalam analisis AC alih-alih ?

13

Dalam analisis AC, ketika kita berurusan dengan atau . Tetapi untuk transformasi Laplace, .s=jωsL1/sCs=σ+jω

Maaf karena ambigu, tetapi saya ingin menghubungkan pertanyaan di bawah ini:

  • Mengapa sigma sama dengan nol?
  • Apakah frekuensi neper terhubung ke ini?
  • Apakah sigma sama dengan nol karena sinyal input adalah sinusoid dari konstanta ?±Vmax
pengguna23564
sumber
Mungkin Anda memiliki contoh di mana mengganti jw untuk s tidak benar untuk Anda. Untuk L dan C, s pasti = jw. Sinewave amplitudo konstan pasti hanya jw.
Andy alias
Saya dapat melakukan semua jenis perhitungan menggunakan s = jw, jadi pertanyaan mengapa tidak s = sigma + jw ditanyakan dalam wawancara dan di mana saja.
user23564
1
Menariknya, saya percaya itu hanya adil untuk mengatur dan sebut hasilnya transformasi Fourier jika Anda berada di ROCσ=0
Scott Seidman

Jawaban:

21

Tentu saja, , menurut definisi. Apa yang terjadi adalah bahwa diabaikan karena dianggap nol. Alasannya adalah bahwa kita sedang melihat respons sistem terhadap sinyal sinusoidal periodik (dan karenanya tidak membusuk), di mana Laplace dengan mudah mereduksi menjadi Fourier di sepanjang sumbu imajiner. Sumbu nyata dalam domain Laplace mewakili faktor peluruhan / pertumbuhan eksponensial yang tidak dimiliki sinyal murni, dan yang Fourier tidak modelkan.σs=σ+jωσ

Kaz
sumber
10

Untuk analisis AC, diasumsikan bahwa rangkaian memiliki sumber sinusoidal (dengan frekuensi sudut yang sama ) dan bahwa semua transien telah membusuk. Kondisi ini dikenal sebagai kondisi tunak sinusoidal atau kondisi tunak AC .ω

Ini memungkinkan sirkuit dianalisis dalam domain phasor .

Menggunakan formula Euler, kami memiliki:

vA(t)=Acos(ωt+ϕ)=(Aejϕejωt)

Phasor yang terkait dengan adalah yang merupakan konstanta kompleks yang berisi informasi fase dan fase dari sinyal domain waktu.V a = A e j ϕv(t)Va=Aejϕ

Oleh karena itu, dalam kondisi ini, kita dapat menganalisis rangkaian dengan melacak voltase dan arus fasor dan menggunakan hubungan berikut:

VlIl=jωL

VcIc=1jωC

VrIr=R

Kami kemudian memulihkan solusi domain waktu melalui rumus Euler.

Sekarang, ada hubungan yang mendalam antara analisis fasor dan analisis Laplace tetapi penting untuk mengingat konteks penuh analisis AC yang, sekali lagi:

(1) sirkuit memiliki sumber sinusoidal (dengan frekuensi yang sama )ω

(2) semua transien telah membusuk

Alfred Centauri
sumber
3

Alasan mengapa dipilih untuk mengevaluasi sinyal AC adalah karena ia memungkinkan untuk mengubah Transformasi Laplace menjadi Transformasi Fourier.S=jω

Alasannya adalah bahwa sementara S adalah variabel kompleks, apa yang digunakan dalam representasi Fourier hanyalah komponen rotasi (imajiner), maka .σ=0

Anda dapat menemukan lebih banyak di halaman Stanford ini .

clabacchio
sumber
Mengapa kita hanya mempertimbangkan komponen rotasi? Dan apakah mempertimbangkan Fourier daripada Laplace memberikan keuntungan?
user23564
1
@ user23564 lebih baik dijelaskan dalam jawaban lain: Transformasi Laplace lebih umum, tetapi Transformasi Fourier lebih praktis dalam menjelaskan fasor.
clabacchio
3

Analisis Laplace transform transfer function (TF) memberikan respons lengkap terhadap sinyal input sinusoidal dari t = 0. Solusinya umumnya berisi istilah transien, yang meluruh ke nol secara eksponensial, dan syarat mapan yang tetap setelah eksponensial menghilang. Ketika kita memiliki kutub dan nol dari TF, misalnya s = -a + jw, bagian '-a' memberikan respon eksponensial (e ^ -at), dan bagian jw memberikan respon kondisi tunak sinusoidal: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Jika kita hanya tertarik pada bagian steady-state dari respon (seperti halnya dalam analisis respon frekuensi) maka kita bisa menggunakan substitusi s = jw di TF.

Perhatikan bahwa e ^ jx = cos (x) + jsin (x) adalah 'Identitas Euler' dan merupakan salah satu hubungan paling penting dan berguna dalam sains dan teknik.

Chu
sumber
1

Ini hanya digunakan untuk "Sin" dan "Cos" yang merupakan kasus sinyal AC. Catatan: Laplace trasnform of sin (at) atau cos (at) "1 / jw + a" atau "jw / jw + a" yang dapat dibuktikan menggunakan identitas dosa dan cos menggunakan identitas Euler yang pada dasarnya hanya 2 eksponensial, dan pangkuan eksponensial hanya memiliki bagian imajiner "jw".

Saya akan menuliskan buktinya dan mempostingnya di sini. :)

Adel Bibi
sumber
1
as2+a2ss2+a2
Ya kau benar! Buruk saya, saya sedang terburu-buru!
Adel Bibi
-1

Jika Anda melihat rumus transformasi Fourier dan Laplace, Anda akan melihat bahwa 's' adalah transformasi Laplace digantikan oleh 'jw' dalam transformasi Fourier. Itulah sebabnya Anda bisa mendapatkan transformasi Fourier dari Transformasi Laplace dengan mengganti 's' dengan 'jw'.

Vivek Roy
sumber
1
Ini sepertinya tidak menambah detail tambahan yang tidak termasuk lebih jelas dalam jawaban yang ada.
PeterJ