Stabilitas bersyarat

Saya belajar tentang op-amp dan umpan balik dan bagaimana umpan balik mempengaruhi stabilitasnya. Saya telah membaca tentang gain dan fase dan penggunaannya ketika saya menemukan ini :

Saya tidak begitu mengerti bagaimana sistem yang ditunjukkan dalam gambar akan stabil mengingat sekitar 2 kHz, umpan baliknya akan positif; Saya akan berpikir bahwa ini akan menyebabkan frekuensi 2 kHz menjadi lebih besar dan lebih besar dan tidak bertemu.

Mengapa sistem ini stabil?

Inilah tepatnya mengapa saya pikir orang harus mempelajari stabilitas terlebih dahulu menggunakan plot Nyquist, MAKA menggunakan plot pertanda dan diagram gain dan margin fase terkait.

Margin gain / fase hanyalah cara yang mudah untuk menentukan seberapa dekat sistem mendapatkan tiang di sisi kanan bidang kompleks, dalam hal seberapa dekat plot nyquist menjadi -1, karena setelah ekspansi sebagian fraksi istilah dengan kutub positif berakhir sebagai eksponensial waktu dengan koefisien positif, yang berarti ia pergi hingga tak terbatas, yang berarti tidak stabil.

Namun, mereka hanya bekerja ketika plot nyquist 'terlihat normal'. Mungkin sekali ia melakukan sesuatu seperti ini:

Jadi itu melanggar aturan margin fase, namun fungsi transfer loop terbuka G (s) H (s) tidak melingkari -1, jadi 1 + G (s) H (s) tidak memiliki nol di sisi kanan, yang berarti loop tertutup tidak memiliki kutub di sisi kanan, sehingga masih stabil.

Kata conditional berasal dari fakta bahwa gain memiliki batas atas / bawah untuk tetap seperti ini, dan melewatinya membuat sistem tidak stabil (karena menggeser kurva cukup untuk mengubah berapa kali -1 dilingkari).

Stabilitas bersyarat dalam respons loop terbuka.

Pertama, karena ini dari Ridley, Anda dapat bertaruh bahwa ini adalah respons loop terbuka dari konverter daya. Respons ini akan stabil untuk keuntungan yang ditunjukkan untuk gangguan loop linear kecil. Jika gangguan loop menjadi cukup besar untuk mengarahkan amplifier ke operasi non-linear, loop kemungkinan akan menjadi berosilasi karena operasi wilayah non-linear akan memiliki penguatan amplifier yang lebih rendah.

Masalah dengan loop seperti ini adalah bahwa meskipun mereka stabil, adalah umum bagi sistem untuk mendapatkan gain yang sangat bervariasi dengan tegangan input atau beban atau suhu, atau kombinasi dari semua ini. Jika Anda menggunakan loop stabil bersyarat, Anda harus memverifikasi bahwa tidak ada dependensi ini akan menjadi faktor selama mode operasi apa pun (termasuk kondisi memulai). Begitu loop-loop ini mulai berosilasi, mereka cenderung menempel (osilasi akan mengurangi gain untuk membuatnya jadi).

Perhatikan bahwa loop seperti yang ditunjukkan dikompensasi dengan benar dengan 2 nol untuk menutupi 2 kutub. Masalahnya adalah bahwa kutub mungkin berasal dari filter LC (kutub kompleks) di loop. Akan ada induktor kerugian rendah dan kapasitor bank rugi rendah yang akan bergabung untuk memberikan respons Q tinggi. Karena Q itu tinggi, semua kontribusi fase dari LC akan terjadi dalam rentang frekuensi yang sangat kecil; dari grafik sepertinya sekitar satu oktaf untuk kehilangan fasa 180 derajat. Nol kompensasi opamp akan sederhana, dan dengan demikian peningkatan fase akan terjadi selama rentang frekuensi 2 dekade (minimal). Jadi, meskipun ada dorongan fase yang memadai untuk menutupi kehilangan fase LC, akan ada penurunan fase dan tidak ada atau fase margin negatif di tengah dekat kutub.

Solusi yang mungkin untuk jenis respons loop ini:

• Nol kompensasi dapat dibagi sehingga seseorang masuk sebelum kutub (kurung kutub), menambahkan beberapa fase tendangan awal. Itu bisa menghasilkan lebih banyak fasa pada penurunan fase, tetapi mungkin tidak cukup.

• Tindakan terbaik biasanya untuk mengurangi Q dari filter LC.

Dekonstruksi Loop:

Untuk menunjukkan bagaimana jenis respons loop terbuka ini terjadi, loop dapat didekonstruksi menggunakan model sederhana.

Saya tidak benar-benar tahu sirkuit yang membuat tanggapan OP diposting, tapi saya curiga, berdasarkan cara respon terlihat bahwa itu adalah dari regulator dorongan mode konduktor terus menerus. Model dasar akan mencakup filter LC, PowerModulator, dan penguat Kesalahan. Semi-skema dari versi loop terbuka AC adalah:

Sirkuit pada umumnya akan mencerminkan perilaku loop penguat CCM, meskipun rincian di sini dipilih agar masuk akal dan mendapatkan kecocokan paling nyaman dengan loop yang dipasang ... dengan jumlah pekerjaan paling sedikit. Ini hanya alat untuk membantu memisahkan semua bagian dari loop dan menunjukkan bagaimana mereka akan pergi bersama untuk membentuk total loop.

Mari kita mulai dengan hasil model ini, loop lengkap:

Tidak terlalu buruk ... terlihat cukup dekat dengan aslinya. Anda dapat melihat karakter dasar loop adalah integrator dengan gangguan resonan LC pada 1000Hz. Pada frekuensi di bawah kutub LC, gain loop berguling pada -20dB per dekade, dan pada frekuensi di atas kutub LC mendapatkan resume penurunan -20dB per dekade. Jadi, karena ada keseluruhan 1 kutub (-20dB /) roll off, sesuatu telah berhasil 2 kutub LC dengan menutupinya dengan nol. Ada artefak tambahan yang muncul di atas ~ 20kHz; ESR nol dalam filter LC, kanan setengah bidang nol (rhpz), dan frekuensi Nyquist; yang akan disebutkan secara singkat.

Respons filter LC:

$C_o$

Modulator daya dengan filter LC:

Modulator daya telah ditambahkan ke filter LC di sini. Power modulator memiliki gain 30dB, setengah bidang kanan nol pada 70kHz, dan kutub untuk frekuensi Nyquist pada 100kHz (ya saya tahu bahwa menambahkan kutub bukan cara yang tepat untuk menangani Nyquist, tetapi harus dilakukan untuk ini ). Kecuali karena memiliki 30dB gain, plot gain terlihat sama dengan hanya LC. Tapi bagaimana dengan fase itu? Ini adalah rhpz yang menunjukkan fase seperti tiang lhp, tetapi mendapatkan seperti nol lhp. Ini sebagian besar mengapa fase loop terbuka tidak pernah pulih sebanyak yang Anda pikirkan setelah resonansi LC.

Penguat Kesalahan:

Di sini Anda dapat melihat respons penguat dengan kutub integrator frekuensi rendah, diikuti oleh 2 nol pada sekitar 1kHz dan 7kHz, kutub pada 42kHz untuk meratakan nol terakhir sebelum berlari ke batas bandwidth penguatan amplifier.

Opamp memiliki bandwidth 20MHz dengan gain 140dB dan kutub frekuensi rendah 2Hz. Gain integrator diatur oleh R1 dan C1. Nol pertama diatur oleh C1 dan R3. Nol kedua ditetapkan oleh C2 dan R1. Kutub leveling diatur oleh C2 dan R2.

Pertama sedikit klarifikasi. Apa yang Anda plot adalah loop gain L, yang akan sesuai dengan G (s) H dalam diagram berikut:

Fungsi transfer lengkap (juga disebut gain loop tertutup ) dalam kasus ini adalah:

Transformasi terbalik akan memiliki pertumbuhan eksponensial (artinya ini adalah sistem yang tidak stabil) setiap kali fungsi tersebut memiliki kutub di sisi kanan (RHS) dari s-plane. Itu sama dengan mencari tahu apakah ada nol pada RHS dari s-pesawat 1 + L (s). Jadi pada dasarnya ketidakstabilan ditentukan oleh gain loop, tidak perlu menghitung gain loop tertutup yang lebih kompleks. Jadi ketika berbicara tentang stabilitas, plot hampir selalu dari loop gain L (s).

Kembali ke pertanyaan Anda:

Mengenai pernyataan bahwa sistem menjadi tidak stabil ketika gain lebih besar dari 0dB dengan fase terbalik (-180), izinkan saya menjawab dengan contoh-contoh yang mudah dilihat. Pertimbangkan yang sangat sederhana:

^{mensimulasikan rangkaian ini - Skema dibuat menggunakan CircuitLab}

Menurut kriteria asumsi yang terlalu berlebihan yang mengatakan:

jika gain loop positif pada -180 °, sistem tidak akan stabil.

Lalu jika | K | > 1 maka itu harus tidak stabil.

Namun tidak. Outputnya adalah:

Stabil.

Di sisi lain jika K = -1, maka kita memiliki masalah (itu menjadi tidak stabil).

Di atas adalah contoh dari hanya konstanta, tetapi secara umum hanya mengetahui bahwa gain> 0dB pada -180 tidak menyiratkan bahwa sistem tidak stabil . Jika buku Anda mengatakan itu, itu salah (tetapi tampaknya akan tepat untuk banyak kasus umum).

Jika Anda mulai membayangkan bahwa sistem di atas memiliki penundaan kecil dan bahwa sinyal E tidak punya waktu untuk merespons dan memiliki nilai yang salah dan kemudian melihat bagaimana ia merambat secara berulang melalui loop, Anda akan menyimpulkan bahwa sinyal akan tumbuh tanpa terikat. Dan dengan ini Anda akan jatuh ke dalam perangkap mental yang sulit untuk keluar, yang saya pikir adalah kesalahpahaman mendasar yang tidak memungkinkan untuk menerima secara konsep bahwa sistem dalam pertanyaan Anda bisa stabil.

Bode plot hanyalah sepotong Nyquist, dan kriteria stabilitas bode hanya berlaku ketika plot Nyquist adalah tipikal, tetapi Bode hanya kenyamanan (lebih mudah untuk plot daripada Nyquist).

Plot Nyquist dan versi yang disederhanakan dari plot Bode hanyalah metode grafis untuk:

1. Cari tahu apakah sistem memiliki kutub RHS, yang menjadi eksponensial yang tumbuh.
2. Dapatkan wawasan tentang seberapa jauh sistem ini stabil / tidak stabil dan apa yang bisa dilakukan untuk itu.

Juga hanya untuk memperjelas, tidak ada swamping yang akan meminimalkan frekuensi tidak stabil. Satu penjelasan sederhana adalah untuk mempertimbangkan bahwa respons total adalah superposisi dari respons semua frekuensi, sehingga sama sekali tidak ada cara untuk memperbaikinya, dengan cara yang sama Anda tidak dapat membatalkan sinusoidal dari frekuensi tertentu dengan jumlah sinusoidals dari frekuensi yang berbeda.

Tetapi sekali lagi, berpikir dalam hal frekuensi yang membuat sistem tidak stabil juga salah. Ketidakstabilan ini tidak sama dengan memiliki frekuensi resonan yang tak terhingga, seperti dalam sistem urutan ke-2 yang tidak teredam. Itu adalah sistem osilasi, tetapi ketidakstabilan yang kita bicarakan adalah tumbuh tanpa batas dengan input apa pun (kecuali nol).

Cara sederhana untuk membuktikannya adalah menyadari bahwa sistem yang tidak stabil akan memiliki kutub pada RHS dari s-plane, dan bahwa:

Jadi tidak ada cara untuk membatalkan kutub dalam fungsi transfer yang memperbanyaknya. Output akan tetap tumbuh tanpa batas.

Respons osilasi hanya berperan jika fase buruk pada zero crossing dari gain. Pengulangan ini stabil secara kondisional karena jika beberapa faktor mengurangi penguatan (menyebabkannya melintas lebih awal), itu bisa melintas di area 2kHz di mana fase berbahaya dan menciptakan respons berosilasi.

Untuk membuat loop ini stabil tanpa syarat, harus ada beberapa dorongan fase untuk memindahkan bagian 2kHz keluar dari zona bahaya, atau penguatan harus menyeberang pada frekuensi yang jauh lebih rendah (di area sebelum fase crash.)