Mengapa, dalam sirkuit pasif dengan input sinusoidal, apakah semua tegangan dan arus memiliki perilaku sinusoidal yang sama dengan input?

Saya tahu bahwa dalam rangkaian apa pun yang terdiri dari elemen pasif linier dan input sinusoidal, semua tegangan dan arus melalui dan melintasi elemen apa pun akan menunjukkan perilaku dan frekuensi sinusoidal yang sama dengan input; itulah cara kerja filter pasif. Tetapi saya tidak dapat menemukan atau menemukan bukti konkret / langsung mengapa hal ini terjadi, jika bukan pengamatan biasa.

Saya telah mencurahkan otak saya dan akhirnya saya menemukan pendekatan matematika yang bagus untuk membuktikan ini dan memutuskan untuk menjawab pertanyaan saya sendiri. Dalam rangkaian seperti itu, penyelesaian untuk setiap tegangan / arus melintasi / melalui komponen apa pun (Saya akan menyebutnya ) akan selalu membimbing Anda untuk membuat persamaan diferensial yang selalu linier, dengan koefisien konstan (karena sifat linier komponen pasif) dan non-homogen (karena input sinusoidal). Persamaan diferensial seperti itu akan selalu berbentuk: a d n$f$di manasebuah. . . kadalah konstanta (kombinasi dari induktansi, perlawanan, dll),nadalah urutan persamaan diferensial (yang mencerminkan jumlah elemen penyimpanan energi di sirkuit), danCsin(ωt+θ)adalah fungsi sinusoidal umum yang menjelaskan input. Solusi umum untuk persamaan diferensial ini akan selalu berbentuk:f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ di mana solusi tertentu = A sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ) yang merupakan fungsi sinusoidal dari frekuensi yang sama! Sekarang, dalam analisis rangkaian AC, kita selalu melihat rangkaian dalam kondisi mapan, ketika solusi homogen mendekati nol (yang pasti terjadi karena hambatan dalam rangkaian). $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Ini hanya berlaku untuk sirkuit LTI (Linear Time-Invariant). Jika Anda memiliki komponen yang tidak ideal (dan semuanya memiliki tingkat tertentu), Anda akan melihat harmonik dari frekuensi input dalam output. Induktor cenderung menjadi yang terburuk dari yang banyak, tetapi semua bagian pasif memiliki perilaku seperti itu. Sebagai contoh, kapasitor dapat menunjukkan koefisien tegangan yang kuat dan tidak invarian waktu karena penyerapan dielektrik.

Untuk bukti matematika langsung (dengan asumsi kira-kira tahun ke-2 Universitas matematika) Anda dapat membaca kursus Berkeley ini (EECS20N: Sinyal dan Sistem) catatan. Anda dapat mengunduh seluruh teks di sini .

Ini terjadi karena gelombang sinew hanya satu baris dalam spektrum frekuensi dan tidak peduli apa yang Anda lakukan dengan menggunakan filter linear atau amplifier, yang terjadi hanyalah fase atau amplitudo bergeser.

Jika itu adalah gelombang persegi (infinite harmonics) maka menerapkan filter akan menipiskan atau menipiskan beberapa frekuensi lebih dari yang lain dan gelombang persegi akan kehilangan bentuk persegi yang dikenali.

Harmoni gelombang persegi: -

Sumber gif

Alasan dasarnya adalah bahwa persamaan penyusun komponen R, L dan C yang ideal adalah linier, persamaan invarian waktu yang hanya melibatkan turunan dan integral (keduanya operasi linier) dan bahwa sinus dan kosinus berubah menjadi sinus dan cosinus lain ketika ditindaklanjuti oleh operator linier tersebut.

Derivatif dan integral dari fungsi sinusoidal adalah fungsi sinusoidal lain dari frekuensi yang sama (hanya dapat berubah dalam amplitudo dan fase). KCL dan KVL hanya dapat menyebabkan jumlah aljabar fungsi sinusoidal tersebut, dan operasi yang hanya dapat menghasilkan fungsi sinusoidal lain. Jadi, pada akhirnya, ketika Anda menghubungkan R, L dan C dalam suatu jaringan, input sinusoidal akan selalu mengarah pada output sinusoidal.

Lihat jawaban saya yang lain di sini .

Semua ini adalah konsekuensi langsung dari kesamaan diri fungsi eksponensial (terkait dengan sinus dan cosinus oleh persamaan Euler). Anda mungkin ingin membaca bab pertama dalam Giorgi, The Physics of Waves untuk mendapatkan penjelasan lengkap untuk itu.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$adalah skalar rumit yang membawa informasi tentang redaman dan pergeseran fasa) disebut karakteristik, atau solusi eigen yang tepat dari sistem. Mereka dapat digunakan untuk membangun basis ortogonal dengan properti yang fungsi (berperilaku baik) lainnya dapat didekomposisi sebagai jumlah umum dari batu bata elementer - dan ini akan membawa Anda langsung ke wilayah seri Fourier, tapi itu cerita lain).

Penjelasan singkat diberikan dalam jawaban pertama untuk pertanyaan ini pada Math SE: Mengapa kita menggunakan fungsi trigonometri dalam transformasi Fourier, dan bukan fungsi periodik lainnya?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Ini benar hanya ketika membatasi elemen pasif ke R, L, C, dan mungkin kristal yang digerakkan dengan benar - dan bahkan kemudian, ada dua pengecualian, lihat di bawah. Dioda disengaja dan tidak disengaja, varistor, termistor dengan massa termal, dan elemen non-linier lainnya dapat dengan cepat menimbulkan distorsi pada input sinusoidal murni. Kristal atau filter keramik berlebih mungkin juga berperilaku agak nonlinier. Jika memasukkan elemen dua-terminal dengan resistansi negatif (tabung pelepasan gas, dioda terowongan) dalam kategori pasif, semakin banyak kemungkinan yang ada.

Pengecualian:

Bagian dunia nyata cenderung memiliki ketidaksempurnaan yang membuatnya berperilaku sedikit seperti beberapa elemen nonlinier. Resistor dapat memiliki "termistor dengan massa termal" dan bahkan perilaku "varistor". Kapasitor dapat memiliki ketergantungan tegangan pada nilainya karena efek piezoelektrik, medan listrik menghasilkan gaya mekanik, efek kimia (dalam elektrolitik). Juga, beberapa efek seperti electret tampaknya didokumentasikan untuk kapasitor. Sambungan logam ke logam dapat mengembangkan perilaku seperti dioda. Induktor dapat menjadi nonlinier melalui saturasi inti, interaksi medan magnet dengan benda logam terdekat, dll ...

Semua komponen resistif yang membawa arus menunjukkan perilaku menghasilkan kebisingan, batas bawah yang ditentukan oleh fisika keras.

Ingatlah bahwa semua kehidupan nyata yang tampaknya non-sinusoidal, sinyal berulang dapat dengan sempurna digambarkan sebagai jumlah gelombang sinus dari berbagai frekuensi dan fase.

Mencari koneksi ke alam akan membuat Anda berputar-putar: Gelombang sinus adalah unsur utama dalam membuat lingkaran dan oval dan benda bulat, menurut matematika Geeks (jika Anda ingin menggambar lingkaran di komputer, Anda biasanya akan menggunakan sinus / fungsi cosinus atau gunakan teorema pythagoras secara langsung ...). Alam membuat banyak benda bulat (rambut, batang tanaman, ceri, noda ceri, tornado, dll) dan menyimpan cukup banyak pasokan gelombang sinus untuk tujuan itu.

'Sirkuit' biasanya dianggap sebagai jaringan komponen, dengan port 'input' dan 'output'. Dengan teori jaringan, seperti Hukum Ohm, Anda dapat memperoleh persamaan, 'fungsi transfer', yang menggambarkan output dalam hal input. Dengan komponen 'linier', Anda akan selalu menemukan fungsi transfer 'linier'.

Mari menjelaskan beberapa komponen linear dengan fungsi seperti output = F(input), output2 = G(input2), dll Kemudian kombinasi komponen tersebut mengarah ke fungsi gabungan seperti output2 = G(F(input1)). Karena kedua fungsi itu linier, maka dari itu bentuknya y = a * x + b, maka kombinasinya juga linier.

Ketika menerapkan sinyal input sinusoidal ke jaringan linear, output dapat diperkuat oleh faktor a, dan digeser oleh tegangan b. Dengan matematika yang rumit, atau persamaan diferensial Anda bahkan bisa mendapatkan 'pergeseran fasa', tetapi bukan frekuensi yang berbeda, karena turunan dari sinus memiliki frekuensi yang sama.

Apakah Anda ingin ini lebih formal?

Entah premis Anda salah atau Anda belum mengartikulasikan kondisi batas dengan benar.

Pertimbangkan perangkat pasif sederhana seperti dioda. Ini akan menunjukkan karakteristik transfer non-linear yang menghasilkan output non-sinusoidal untuk diberikan

Juga pertimbangkan sirkuit resonansi ideal (LC) dengan fungsi transfer yang menghasilkan output nol - sehingga non-sinusoidal.

Fungsi eigen dari sistem invarian waktu linear (dan jaringan pasif umumnya dari jenis itu) adalah eksponensial yang kompleks, dan superposisi nyata mereka adalah sinoid dari fase sewenang-wenang.

Fungsi eigen adalah fungsi yang hanya akan berubah oleh faktor konstan (dalam hal ini, kompleks) ketika dimasukkan melalui suatu sistem. Sistem linear adalah sistem yang keluarannya sesuai dengan jumlah dari beberapa input sesuai dengan jumlah dari output masing-masing input, sehingga Anda selalu dapat menganalisisnya dengan menyatakan inputnya sebagai jumlah yang mudah. Jika jumlah ini dapat menjadi jumlah yang diekspresikan dalam basis fungsi eigen ortogonal, segalanya menjadi jauh lebih mudah.

Halo analisis Fourier.