11

Ya, ini pertanyaan pedagogis. Saat menjawab pertanyaan baru lainnya, saya ingin merujuk OP ke instruksi ringkas untuk menggunakan superposisi untuk menyelesaikan sirkuit. Saya menemukan bahwa semua sumber daya online yang mudah ditemukan agak kurang. Biasanya mereka tidak jelas tentang apa jenis superposisi sirkuit berlaku untuk, atau tentang metode aktual untuk menerapkan teorema superposisi untuk masalah sirkuit. Begitu,

Jenis sirkuit apa yang bisa diselesaikan dengan superposisi?

Bagaimana berbagai jenis sumber diperlakukan ketika menyelesaikan dengan superposisi?

Apa langkah-langkah untuk menyelesaikan rangkaian menggunakan teorema superposisi?

circuit-analysis Foton
sumber

Karena ini adalah tempat untuk menunjuk, bagaimana dengan komunitas wiki yang menjawab sehingga dapat diubah untuk tujuan ini?

manusia gua

10

Teorema superposisi
" The superposisi Teorema bagi negara-negara sirkuit listrik yang untuk sistem linear respon (tegangan atau arus) di setiap cabang dari rangkaian linear bilateral memiliki lebih dari satu sumber independen sama dengan jumlah aljabar dari tanggapan yang disebabkan oleh masing-masing sumber independen bertindak sendiri , di mana semua sumber independen lainnya digantikan oleh impedansi internal mereka . "

Jenis sirkuit apa yang bisa diselesaikan dengan superposisi?

Sirkuit yang terbuat dari salah satu komponen berikut dapat diselesaikan menggunakan teorema superposisi

Sumber independen
Elemen pasif linier - Resistor, Kapasitor dan Induktor
Transformator
Sumber tergantung linear

Apa langkah-langkah untuk menyelesaikan rangkaian menggunakan teorema superposisi?

Ikuti algoritma:

Jawaban = 0;
Pilih sumber independen pertama.
Ganti semua sumber independen di sirkuit asli kecuali sumber yang dipilih dengan impedans internal.
Hitung jumlah (tegangan atau arus) yang diinginkan dan tambahkan ke Jawab.
Keluar jika ini adalah sumber independen terakhir. Lain langkah Goto 3 dengan memilih sumber berikutnya.

Impedansi internal sumber tegangan adalah nol dan sumber arus adalah tak terhingga. Jadi ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan hubung terbuka saat menjalankan langkah 3 dalam algoritma di atas.

Bagaimana berbagai jenis sumber diperlakukan ketika menyelesaikan dengan superposisi?

Sumber independen harus diperlakukan sebagaimana dijelaskan di atas.

Dalam hal sumber dependen, jangan sentuh mereka.

nidhin
sumber

5

Superposisi hanya berlaku ketika Anda memiliki sistem yang sepenuhnya linier, yaitu:

\begin{aligned} F (x_{1} + x_{2}) & = F (x_{1}) + F (x_{2}) \\ F (a x) & = a F (x) \end{aligned}

$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$

Dalam konteks analisis rangkaian, rangkaian harus terdiri dari elemen linier (kapasitor, induktor, transformator linier, dan resistor) dengan sumber independen N, dan apa yang Anda selesaikan harus berupa voltase atau arus. Perhatikan bahwa Anda dapat mengambil solusi super-dibebankan ke tegangan / arus untuk menemukan jumlah lain yang tidak linier (mis. Daya dihamburkan dalam resistor), tetapi Anda tidak dapat menempatkan (menambahkan) jumlah non-linear untuk menemukan solusi untuk yang lebih besar sistem.

Sebagai contoh, mari kita ambil satu resistor dan melihat hukum Ohm (saya menggunakan U dan J masing-masing untuk tegangan / arus, tanpa alasan khusus) dan melihat bagaimana arus berkontribusi dari sumber mempengaruhi tegangan: $i$

\begin{aligned} U = J R = R (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} R J_{i} = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$

Jadi saya dapat menemukan tegangan melintasi resistor dengan menjumlahkan kontribusi arus dari setiap sumber independen dari sumber lain. Demikian pula, untuk menemukan arus yang mengalir melalui resistor:

\begin{aligned} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i = 1}^{N} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{U_{i}}{R} = \sum_{i = 1}^{N} J_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$

Namun, jika saya mulai melihat kekuatan, superposisi tidak lagi berlaku:

\begin{aligned} P = J U = (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) (\sum_{j = 1}^{N} U_{j}) \neq \sum_{i = 1}^{N} J_{i} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} P_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$

Proses umum untuk menyelesaikan sirkuit menggunakan superposisi adalah:

Untuk setiap sumber , ganti semua sumber lain dengan sumber nol ekivalennya, yaitu sumber tegangan menjadi 0V (sirkuit pendek) dan sumber arus menjadi 0A (sirkuit terbuka). Temukan solusi , untuk apa pun yang tidak Anda minati. $i$ $F_i$
Solusi terakhir adalah jumlah dari semua solusi . $F_i$

Contoh 1

Ambil sirkuit ini dengan dua sumber:

skema

^{mensimulasikan rangkaian ini - Skema dibuat menggunakan CircuitLab}

Saya ingin menyelesaikan untuk arus J yang mengalir melalui R1.

Pilih V1 sebagai sumber 1, dan I1 sebagai sumber 2.

Memecahkan untuk , sirkuit menjadi: $J_1$

skema

^{mensimulasikan rangkaian ini}

Jadi kita tahu bahwa . $J_1 = 0$

Sekarang pemecahan untuk , sirkuit menjadi: $J_2$

skema

^{mensimulasikan rangkaian ini}

Jadi kita dapat menemukan . $J_2 = I_1$

Menerapkan superposisi,

\begin{aligned} J = J_{1} + J_{2} = 0 + I_{1} = I_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$

Contoh 2

skema

^{mensimulasikan rangkaian ini}

Sekarang Saya tertarik pada arus yang melalui R4 . Mengikuti proses umum yang diuraikan sebelumnya, jika saya menyatakan V1 sebagai sumber 1, V2 sebagai sumber 2, dan I1 sebagai sumber 3, saya dapat menemukan: $J$

\begin{aligned} J_{1} & = - \frac{V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J_{2} & = \frac{V_{2}}{R_{2} + R_{1} + R_{4} + R_{5}} \\ J_{3} & = - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{4} + R_{2} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$

Dengan demikian solusi terakhir adalah:

\begin{aligned} J & = J_{1} + J_{2} + J_{3} = \frac{V_{2} - V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

Kekuatan superposisi berasal dari mengajukan pertanyaan "bagaimana jika saya ingin menambah / menghapus sumber?" Katakanlah, saya ingin menambahkan sumber I2 saat ini:

skema

^{mensimulasikan rangkaian ini}

Alih-alih memulai dari awal, satu-satunya hal yang perlu saya lakukan sekarang adalah menemukan solusi untuk sumber I2 baru saya dan menambahkannya ke solusi lama saya:

\begin{aligned} J_{4} & = I_{2} \frac{R_{1} + R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J & = \sum_{i = 1}^{4} J_{i} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5}) + I_{2} (R_{1} + R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

helloworld922
sumber

Saya punya beberapa komentar yang saya harap akan bermanfaat: 1. Saya merasa menggunakan U dan J agak membingungkan, V dan saya lebih baik; 2. Persamaan pertama untuk U tidak boleh penjumlahan, karena hanya untuk sumber ke-10 saja; 3. Penjumlahan lainnya harus, saya percaya, diambil dari i = 1 ke N, bukan dari i ke N; 4. Superposisi dalam teori rangkaian hanya digunakan untuk arus dan tegangan, jadi saya akan memindahkan diskusi tentang daya nanti dalam teks; 5. Dalam contoh berikut yang sederhana dari I1 dan R1, tidakkah seharusnya J3 = -I1 (...), karena I1 bertindak dalam arah yang berlawanan dengan J3?

Chu

1. Saya memilih untuk menggunakan U dan J karena saya memberi label sumber saya dengan V dan I, dan saya tidak ingin kebingungan disebabkan oleh . Saya jelas menyatakan apa yang U dan J dengan harapan untuk membatasi kebingungan. 2. Ya, saya membuat notasi lebih jelas untuk apa variabel penjumlahan dan indeks awal. 4. Ide saya adalah untuk meletakkan semua informasi dasar ketika teori superposisi di depan contoh. Saya membuat bagian contoh lebih jelas untuk memisahkan keduanya. 5. Ya, itu kesalahan saya.

I_{3} = I_{1} \cdot (blah)

$I_3 = I_1 \cdot (\textrm{blah})$

helloworld922

Bagaimana cara menggunakan superposisi untuk menyelesaikan sirkuit?

Jawaban:

Contoh 1

Contoh 2