Apakah ada yang namanya homomorfisme coalgebra lemah?

Diberi endofunctor , kita dapat mendefinisikan fungsi observasi sebagai fungsi yang polimorfik untuk setiap -coalgebra, yaitu didefinisikan untuk setiap -coalgebra . Cara lain untuk melihat fungsi observasi adalah sebagai fungsi final $F : Set \rightarrow Set$ $F$ $obs$ $F$ $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to B

$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$

coalgebrajika ada. Kami mendapatkan polimorfisme secara otomatis dengan menyusun fungsi observasi dengan homomorfisme yang unik hingga

coalgebraakhir. Tapi ini hanya berfungsi jika

coalgebraakhirada.

F

$F$

F

$F$

F

$F$

Salah satu karakteristik yang menentukan dari fungsi pengamatan adalah bahwa ia membatalkan semua homomorfisma batu bara yang dikomposisikan ke kanan, karena polimorfisme-nya. Jika adalah -coalgebra homomorfisma, maka: Selama penelitian saya, dalam upaya untuk mendefinisikan pengertian konsistensi observasional antara satu coalgebra dan yang lain, aku punya ide homomorfisma coalgebra lemah. Idenya adalah bahwa kita dapat "memalsukan" homomorfisma batu bara jika kita mengetahui fungsi pengamatan sebelumnya. Jadi, kita dapat memuaskan, $hom$ $F$

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

tetapi hanya untuk satu

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

o b s

$obs$

Sebagai contoh, mari , dan membiarkan didefinisikan sebagai $FX = \{0,1\} \times X$ $obs$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to {0, 1}^{2}

$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$

Artinya,

mengambil dua elemen pertama dari sungai.

o b s = ⟨ (π_{1} \circ c), (π_{1} \circ c \circ π_{2} \circ c) ⟩

$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$

o b s

$obs$

Kemudian, sebuah homomorfisma F-coalgebra akan perlu memastikan bahwa itu mempertahankan semua elemen dari sungai, sedangkan homomorfisma lemah untuk hanya perlu mempertahankan dua elemen pertama dari sungai. $obs$

Dalam penelitian saya, gagasan ini akan berguna untuk menunjukkan bahwa satu batubara secara konsisten konsisten dengan yang lainnya dengan menunjukkan bahwa setiap fungsi pengamatan linear terbatas memiliki homomorfisme yang lemah dari batubara pertama ke batubara kedua. Dengan kata lain, setiap pengamatan linear hingga pada batubara pertama dapat direproduksi pada batubara kedua.

(Apa yang saya maksudkan dengan fungsi pengamatan linier sebagian besar terasa tidak relevan, tetapi demi berbagi ... Fungsi pengamatan linier kurang lebih sama dengan yang menggunakan masing-masing kondisi carrier hanya satu kali. Saya mencoba memodelkan oracle, dan pengguna tidak diizinkan untuk kembali dan berpura-pura tidak pernah mengajukan pertanyaan.)

Pertanyaan saya adalah:

Apakah ini sudah diteliti? Apakah "homomorfisme coalgebra lemah" sudah ada, dengan nama lain mungkin?
Apakah ada cara lain "teori kategori" untuk menyajikan ini?

Sunting : Menghapus dua pertanyaan yang tidak terlalu penting.

ct.category-theory Francisco Mota
sumber

Apakah ada alasan untuk berpikir bahwa situs tanya jawab ilmu komputer adalah tempat yang tepat untuk pertanyaan ini?

Sasho Nikolov

F

$F$

F

$F$

Sebagai contoh aplikasi untuk ilmu komputer, gagasan indistinguishibility (yang kadang-kadang digunakan dalam kriptografi) dapat didefinisikan dalam hal homomorfisme yang lemah.

Francisco Mota

Saya ingin tahu melihat referensi di mana ini telah dilakukan dan digunakan untuk membuktikan sesuatu.

Sasho Nikolov

O

$O$

O

$O$

⟨ A, α ⟩

$\langle A, \alpha \rangle$

⟨ B, β ⟩

$\langle B, \beta \rangle$

f : A \to B

$f: A \to B$

β^{O} \circ f = O (f) \circ α^{O}

$\beta^O \circ f = O(f) \circ \alpha^O$

O

$O$

Jawaban:

`Morfisma lemah 'yang Anda jelaskan memiliki nama dalam pengaturan yang sedikit terbatas. Mereka juga dapat didefinisikan secara umum, seperti yang akan saya jelaskan.

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $\mathsf{Set}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha \leq \omega$ . Sebelum untuk coalgebra, ahli logika modal telah mempelajari bisimulasi n-step untuk frame Kripke, yang berjumlah bisimulasi n-step untuk coalgebras untuk funcet powerset. Persyaratan Anda bahwa mereka berfungsi sebagai lawan dari relasi menjadikannya fungsional bisimulasi n-step.

$\mathbb{C}$ $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $T$ $\mathsf{Set}$ $\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{Set}$ $1 = \{*\}$ $!_{T1} : T1 \to 1$ $\mathsf{Set}$ $T1$ $*$ $T^n 1$ $T$ $T^\omega 1$ $\omega$ $T^\alpha 1$ $\alpha$

$T$ $(Z,\gamma)$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$ $\alpha$ $\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$ $\alpha$ $T$ $(A,\gamma)$ $(B,\delta)$ $\mathbb{C}$ $f : A \to B$ $\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$ $f(z)$ $\delta$ $\alpha$ $z$ $\gamma$

Bagaimanapun, saya harap ini membantu. Anda dapat menemukan berbagai referensi dengan googling 'terminal sequence coalgebra' atau 'final sequence coalgebra'.

rampok
sumber

Terima kasih atas jawaban informatif dan mudah diakses ini! Saya punya satu komentar dan satu pertanyaan. Catatan: Gagasan tentang "fungsi pengamatan" dan "morfisme lemah" seperti dalam posting saya sedikit lebih umum - morfisme yang lemah tidak perlu mempertahankan semua perilaku hingga

α

$\alpha$

o b s : T^{α} 1 \to B

$\mathsf{obs}:T^\alpha 1 \to B$

o b s \circ {b e h}_{δ}^{α} \circ f = o b s \circ {b e h}_{γ}^{α}

$\mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

Saya tidak yakin bahwa saya mengerti ucapan Anda. Maksud Anda kedalaman perilaku yang dipertahankan misalnya bervariasi

z

$z$

f (z)

$f(z)$

z^{'}

$z'$

f (z^{'})

$f(z')$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β \leq α

$\beta \leq \alpha$

Tidak mudah bagi saya untuk menjelaskan perbedaan antara

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

ω

$\omega$

2 \times I d : S e t \to S e t

$2 \times Id : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega + 1}$

α

$\alpha$

X \mapsto (2 \times X)^{2}

$X \mapsto (2 \times X)^2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

Sebagai aturan, seseorang harus menghindari terminologi yang sangat kelebihan seperti lemah, teratur, normal, dll kecuali jika gagasan tersebut memiliki universalitas. Secara khusus, tampaknya gagasan Anda tidak sesuai dengan gagasan homomorfisme lemah setelah panah terbalik.

Selalu ada istilah yang lebih deskriptif setiap kali Anda melakukan sesuatu yang kurang universal, seperti "homomorfisme yang dilemahkan secara pengamatan" disingkat menjadi "ow-homomorfisme".

Gagasan Anda tentang fungsi observasi sudah menyediakan kategori presentasi teoretis. Saya lebih khawatir tentang klarifikasi apa artinya sebenarnya, dan mengapa itu menarik, daripada mencari yang paling umum mungkin. Secara khusus, Anda biasanya harus memberikan contoh yang informatif dan non-contoh ketika memperkenalkan gagasan yang tidak biasa di media cetak.

Jeff Burdges
sumber

Terima kasih atas jawabannya. Saya setuju dengan rekomendasi Anda untuk menggunakan nama yang lebih spesifik. Saya masih berniat membaca koran tentang Lemah Bisimulasi oleh Jan Rothe ( citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 ) untuk menentukan bagaimana mereka terkait dengan definisi saya di atas, tetapi saya ( sebelum waktunya) yakin bahwa mereka berbeda. Sekali lagi terima kasih.

Francisco Mota