Formula terpendek untuk CNF monoton jangka-panjang

Rumus CNF monoton dengan istilah m pada n variabel ( ) adalah rumus dari bentuk f ( x 1 , ... , x n ) = ⋀ C i , di mana setiap C i adalah ATAU dari beberapa bagian dari variabel x 1 , … , x n , dan i berkisar dari 1 hingga m .$x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Sebagai contoh, adalah formula CNF monoton dengan 2 istilah pada 4 variabel.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

Saya mencari rumus terpendek (tidak harus monoton, tidak harus CNF, rumus apa pun akan melakukan!) Pada set variabel yang sama yang mewakili fungsi yang sama dengan formula CNF monoton yang diberikan pada n variabel dengan n istilah. (Perhatikan bahwa jumlah syarat dan variabel sama.)

Salah satu cara yang jelas untuk membangun formula adalah untuk memperluas definisi CNF yang diberikan, yang akan memberi kita formula ukuran . (Mari kita mendefinisikan ukuran formula menjadi panjang formula ketika dituliskan sebagai string.) Saya ingin tahu apakah ini adalah konstruksi umum yang paling efisien atau jika untuk setiap n monoton istilah CNF terdapat formula ukuran o ( n 2 ) .$O(n^2)$$o(n^2)$

Saya hanya ingin tahu apakah ini mungkin, saya tidak begitu tertarik pada algoritma. Jika ini tidak memungkinkan, fungsi yang berfungsi sebagai sampel tandingan akan menjadi besar. Pointer ke tempat saya dapat menemukan jawaban dalam literatur juga dihargai.

EDIT: Saya menambahkan contoh untuk memperjelas.

$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

$\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

$\log n$$O(n^2/\log n)$

Pertimbangkan bahwa untuk CNF apa pun Anda dapat menghitung sekumpulan prime implikasinya (yang minimumnya harus menjadi himpunan bagian) dengan mengambil penutupan di bawah resolusi, dan menerapkan eliminasi subsumsi.

$F$$F$$F$

Tentu saja, saya berasumsi Anda tidak ingin memperkenalkan variabel baru.

$n$$f$$n$