Biarkan kelas A menunjukkan semua grafik ukuran yang memiliki siklus Hamilton. Sangat mudah untuk menghasilkan grafik acak dari kelas ini - ambil node terisolasi, tambahkan siklus Hamiltonian acak dan kemudian tambahkan tepi secara acak.n
Biarkan kelas B menunjukkan semua grafik ukuran yang tidak memiliki siklus Hamilton. Bagaimana kita bisa memilih grafik acak dari kelas ini? (atau melakukan sesuatu yang dekat dengan itu)
ds.algorithms
graph-theory
Jagadish
sumber
sumber
Jawaban:
Ini tidak mungkin (kecuali NP = coNP) karena khususnya yang menyiratkan fungsi poli-waktu yang rentangnya adalah grafik non-Hamiltonian (fungsi beralih dari string acak ke grafik output), yang pada gilirannya akan menyiratkan NP-proof non-Hamiltonianicity (untuk membuktikan G tidak memiliki sirkuit Hamilton, tunjukkan x yang memetakannya.)
sumber
Bollobas, Fenner, dan Frieze (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193) memberikan algoritma waktu polinomial untuk menemukan siklus Hamiltonian dalam grafik acak, yang memiliki tingkat kesalahan yang cenderung asimtotik cenderung 0 dalam ukuran. dari grafik. Jika Anda ingin membuat grafik n vertex yang bukan Hamiltonian, Anda dapat memilih grafik acak dengan m nGn,m m sedemikian rupa sehingga grafik adalah Hamiltonian dengan probabilitas konstan yang dibatasi dari 1. Anda kemudian dapat menjalankan algoritma BFF untuk mencoba menemukan siklus Hamiltonian di dalamnya, dan menolak grafik jika algoritma berhasil. Setelah jumlah putaran yang konstan, Anda akan mengharapkan untuk menemukan grafik yang algoritmenya gagal menemukan siklus Hamilton, dan meskipun grafik ini mungkin sebenarnya adalah Hamiltonian, kemungkinan hal ini akan berkurang dalam .n
Tentu saja, ini tidak memilih seragam secara acak dari himpunan semua grafik verteks non-Hamiltonian , tetapi ia memilih dari subkelas yang menarik - yang mana Anda akan mengharapkan sebagian kecil dari grafik menjadi Hamilton, serta fraksi nontrivial tidak.n
sumber
Tugas pertama mudah karena grafik Hamilton mudah diverifikasi. Namun, Tidak ada bukti singkat yang diketahui yang dapat diverifikasi secara efisien untuk menyaksikan bahwa grafik yang diberikan adalah non-Hamilton.
sumber