Apakah ada algoritma yang menemukan anak di bawah umur terlarang?

The Robertson-Seymour teorema mengatakan bahwa setiap keluarga kecil-tertutup grafik dapat dicirikan oleh finitely banyak anak di bawah umur dilarang. $\mathcal G$

Apakah ada algoritma yang untuk input $\mathcal G$ menghasilkan anak di bawah umur terlarang atau apakah ini tidak dapat diputuskan?

Jelas, jawabannya mungkin tergantung pada bagaimana $\mathcal G$ dijelaskan dalam input. Misalnya, jika $\mathcal G$ diberikan oleh $M_\mathcal G$ yang dapat memutuskan keanggotaan, kita bahkan tidak bisa memutuskan apakah $M_\mathcal G$ pernah menolak apa-apa. Jika $\mathcal G$ diberikan oleh banyak anak di bawah umur terlarang - yah, itulah yang kami cari. Saya akan penasaran ingin tahu jawabannya jika $M_\mathcal G$ dijamin untuk berhenti di setiap $G$ di beberapa jumlah waktu yang tetap di $|G|$ . Saya juga tertarik pada hasil yang terkait, di mana $\mathcal G$ terbukti menjadi kecil-tertutup dengan beberapa sertifikat lain (seperti dalam kasus $TFNP$ atauBUKTI SALAH).

Pembaruan: Versi pertama pertanyaan saya ternyata cukup mudah, berdasarkan gagasan Marzio dan Kimpel, pertimbangkan konstruksi berikut. $M_\mathcal G$ menerima grafik pada $n$ simpul jika dan hanya jika $M$ tidak menghentikan dalam $n$ langkah. Ini sedikit tertutup dan waktu berjalan hanya bergantung pada $|G|$ .

graph-theory decidability graph-minor domotorp
sumber

Jika

diwakili oleh TM

selalu terhenti , Anda dapat mengurangi masalah penghentian itu: mengingat

build

yang menghasilkan ya jika dan hanya jika

berhenti tepat dalam langkah

(

adalah grafik pencacahan standar).

menerima paling banyak satu minor dilarang, sehingga

adalah keluarga kecil tertutup; maka masalahnya adalah diputuskan.

G

$\mathcal G$

M_{G}

$M_\mathcal G$

M

$M$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

M

$M$

x

$x$

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G

$\mathcal G$

Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel: Ops, saya salah paham pertanyaannya. Mungkin perbaikannya adalah:

mencari

pertama

sehingga

berhenti tepat di langkah

kemudian menerima jika

bukan minor dari

; tolak sebaliknya.

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$

M

$M$

i

$i$

G_{i}

$G_i$

G_{x}

$G_x$

Marzio De Biasi

@ Marszio Ya, untuk menyederhanakan:

menerima grafik pada

simpul jika dan hanya jika

tidak berhenti dalam

langkah. Ini sedikit tertutup dan waktu berjalan hanya bergantung pada

M_{G}

$M_\mathcal G$

n

$n$

M

$M$

n

$n$

| G |

$|G|$

domotorp

Baiklah, saya menafsirkan penghentian jika

berhenti dalam

langkah, maka kami juga mengatakan bahwa berhenti dalam

langkah.

M

$M$

2

$2$

3

$3$

domotorp

@domotorp Karena pekerjaan konstruksi Anda (jika saya tidak salah), dan menjawab salah satu pertanyaan Anda (dan karena Marzio De Biasi dan saya mencoba membuat konstruksi sederhana tanpa hasil), saya pikir Anda harus mengubah konstruksi Anda menjadi sebuah jawaban yang tepat. Anda dapat menjadikannya sebagai wiki komunitas, jika Anda merasa tidak nyaman menjawab pertanyaan Anda sendiri. Atau, Anda dapat mengedit pertanyaan Anda dan menambahkan jawabannya di sana.

Thomas Klimpel

Jawaban:

Jawaban oleh Mamadou Moustapha Kanté (yang melakukan PhD di bawah pengawasan Bruno Courcelle) untuk pertanyaan serupa mengutip Catatan tentang Komputasi dari Set Grafik Obstruksi Kecil untuk Ide Orde Kedua Monadik (1997) oleh B. Courcelle, R. Downey, dan M. Fellows untuk hasil non-komputabilitas (untuk kelas grafik yang terdefinisi-MSOL , yaitu kelas-kelas yang ditentukan oleh rumus urutan Kedua Monadik) dan Penghalang dari serangkaian grafik kecil-tertutup yang ditentukan oleh tata bahasa bebas konteks (1998) oleh B Courcelle dan G. Sénizergues untuk hasil komputabilitas (untuk kelas grafik yang dapat ditentukan SDM , yaitu kelas yang ditentukan oleh tata bahasa Penggantian Hedgeedge).

Perbedaan penting antara kasus yang dapat dihitung dan yang tidak dapat dihitung adalah bahwa kelas grafik yang dapat didefinisikan HR (minor-closed) telah membatasi treewidth, sedangkan kelas grafik yang didefinisikan-MSOL (tidak tertutup) tidak perlu terikat dengan treewidth. Bahkan, jika kelas grafik MSOL yang dapat didefinisikan (tertutup) telah membatasi treewidth, maka itu juga dapat didefinisikan oleh SDM.

Perjanjian itu tampaknya benar-benar bagian penting untuk memisahkan yang dapat dihitung dari kasus yang tidak dapat dihitung. Hasil lain yang diketahui (oleh M. Fellows dan M􏰊.􏰊 Langston) pada dasarnya mengatakan bahwa jika suatu ikatan untuk treewidth maksimum (atau jalur lebar) dari himpunan terbatas anak-anak yang dikecualikan diketahui, maka set minimal (terbatas) dari anak di bawah umur yang dikecualikan menjadi dapat dihitung.

Bahkan tidak diketahui apakah kumpulan minimal anak-anak yang dikecualikan (terbatas) untuk serikat (terbatas trivial) dari dua kelas grafik kecil-tertutup yang masing-masing diberikan oleh masing-masing kelompok anak-anak yang dikecualikan hingga yang terbatas dapat dihitung, jika tidak ada informasi tentang treewidth (atau jalur lebar) tersedia. Atau mungkin bahkan telah dibuktikan sementara itu secara umum tidak dapat dihitung.

Thomas Klimpel
sumber

Bagian terakhir ini cukup menarik. Jika dipahami dengan baik, ini menyiratkan hal berikut. Untuk keluarga grafik

, dilambangkan dengan

ukuran minor minor terlarang terbesar. Misalkan

. Maka tidak ada batas atas rekursif yang diketahui untuk

G

$\mathcal G$

m (G)

$m(\mathcal G)$

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$

f (n)

$f(n)$ . Apakah Anda tahu beberapa contoh yang menunjukkan bahwa

tumbuh sangat cepat?

f (n)

$f(n)$

domotorp

@domotorp Saya setuju, poin bagus. Saya memang memiliki beberapa ide untuk contoh-contoh seperti itu, tetapi saya memiliki kesan bahwa laju pertumbuhan semua contoh saya (yang pada dasarnya mencoba bermain dengan dimensi "kisi") akan tetap berada dalam ELEMENTARY. Namun, saya percaya bahwa jika saya ingin menginvestasikan waktu pada pertanyaan-pertanyaan itu, maka saya harus terlebih dahulu melakukan studi literatur tentang apa yang terjadi pada tahun 2000-2018, mungkin dengan melihat makalah yang mengutip makalah yang saya ketahui, atau dengan melihat di publikasi selanjutnya dari penulis yang mengerjakan pertanyaan-pertanyaan itu.

Thomas Klimpel

Saya mengerti - yah, saya tidak putus asa untuk mengetahui jawabannya, hanya saja saya terkejut dan menjadi penasaran ...

domotorp

@domotorp Set minimal anak di bawah umur yang dikecualikan untuk serikat pekerja telah terbukti dapat dihitung pada tahun 2008: logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/…

Thomas Klimpel