Min berat cocok sempurna dengan jumlah tepi merah genap

Pertimbangkan grafik berbobot dengan beberapa tepi merah. Kami tertarik untuk menemukan pencocokan sempurna, sehingga jumlah tepi merah rata, dan di bawah kendala sebelumnya, berat diminimalkan.

Apakah masalah ini dapat diselesaikan dalam waktu polinomial? Bahkan untuk grafik bipartit?

Bagaimana dengan ekstensi alami. Kasus di mana ada jumlah warna konstan, dan jumlah tepi setiap warna dalam pencocokan harus genap.

Saya pikir masalah Anda terpecahkan dalam waktu polinomial acak, jika bobot dibatasi secara polinomial dalam ukuran grafik. Anda dapat menggunakan pendekatan berdasarkan algoritma pencocokan aljabar oleh Mulmuley, Vazirani, dan Vazirani. Ini berguna untuk aplikasi serupa di masa lalu, lihat misalnya Proposisi 9 dan diskusi sebelumnya dalam makalah Daniel Marx https://doi.org/10.1016/j.ipl.2003.09.016 .

Dalam waktu polinomial acak, Anda dapat menentukan apakah ada kecocokan sempurna yang bobotnya persis dengan nilai yang ditentukan, dalam grafik berbobot-bilangan bulat dengan bobot yang dibatasi secara polinomi dalam ukuran grafik. Sekarang, mengatakan grafik Anda memiliki simpul dan berat maksimum adalah W . Beratkan kembali tepi merah grafik sebagai berikut: jika berat asli adalah x, bobot baru menjadi ( n W + 1 ) + x . (Saya juga menganggap semua bobot adalah nonnegatif, yang dapat dengan mudah dilakukan dengan menambahkan nilai konstan yang sama untuk semuanya). Kemudian amati yang berikut ini: kecocokan sempurna dalam grafik pembobotan ulang yang bobot totalnya berada dalam interval [ $n$$W$$(nW+1) + x$ , adalah pencocokan sempurna dengan 0 tepi merah. Jika berat totalnya dalam interval [ 2 ( n W + 1 ) . . . 2 ( n W + 1 ) + n W ] , maka sangat cocok dengan 2 tepi merah. Secara umum, dari kisaran berat Anda dapat menyimpulkan jumlah tepi merah.$[0 ... nW]$$[2(nW+1) ... 2(nW+1) + nW]$

Oleh karena itu untuk menemukan pencocokan berat minimum dengan jumlah tepi merah yang rata, cukup untuk memeriksa semua rentang bobot yang sesuai dengan pencocokan dengan tepi merah yang rata, menguji setiap berat dalam kisaran tersebut apakah ada pencocokan sempurna bobot itu, dan menskalakan bobot dari setiap pencocokan berbobot kembali berdasarkan jumlah tepi merah yang terkandung di dalamnya, untuk mencari tahu mana di antaranya yang sesuai dengan pencocokan sempurna bobot minimum genap-merah pada grafik asli Anda. Dengan teknik reduksi diri standar, Anda kemudian dapat mengekstraksi pencocokan itu sendiri, bukan hanya nilainya, tetapi Anda mungkin harus meningkatkan probabilitas keberhasilan dengan melakukan beberapa percobaan untuk mendapatkan probabilitas keberhasilan yang baik secara keseluruhan saat melakukan pengurangan sendiri.

Masalahnya adalah waktu polinomial yang dapat dipecahkan.

Setelah berdiskusi dengan Vivek Madan , kita dapat menunjukkan bahwa bukti Teorema 5.1 dalam Pencocokan Sempurna dalam Grafik Planar Bipartit juga ada dalam UL yang bekerja dalam konteks tertimbang (hasilnya adalah memutuskan apakah ada solusi yang layak).

$R$$M$$|M\cap R|$$C$$M$$|C\cap R|$$M$$M\triangle C$

$M\triangle C$

Masalahnya berkurang untuk menemukan siklus bolak-balik yang berisi jumlah tepi merah ganjil.

Untuk grafik bipartit, masalahnya mudah, karena dapat direduksi menjadi menemukan siklus ganjil berat minimum dalam grafik berarah tanpa siklus negatif. Yang tampaknya dapat dipecahkan dalam waktu polinomial oleh berbagai akun (tapi saya tidak dapat menemukan kutipan yang konkret). Algoritma seperti Floyd-Warshall sudah cukup. Untuk grafik umum, pendekatan yang serupa bekerja, tetapi pengurangannya sedikit lebih terlibat. Kami sebenarnya tidak tahu bagaimana melakukannya untuk grafik umum.

Perhatikan kasus grafik bipartit sebenarnya mengikuti dari teorema yang lebih umum. Di sini kami secara langsung mengutip masalah berikut dari Artmann, Weismantel, Zenklusen 17

Paritas TU-optimasi

$T$$rank(T)=n$$b\in > \mathbb{Z}^m,c\in \mathbb{Z}^n,\alpha\in \{0,1\}$$S\subset [n]$

$$\max\{c^T x: Tx\leq b, x\in \mathbb{Z}^n_{\geq 0}, x(S)\equiv \alpha \pmod 2\}$$

Optimasi TU paritas dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, dan kasus bipartit dari masalah kita berkurang. (Perhatikan mudah dipenuhi dengan membutuhkan untuk semua ).$rank(T)=n$$x_i\geq 0$$i$

Kami tidak tahu tentang kasus di mana ada jumlah warna yang konstan.