Razborov membuktikan bahwa pencocokan fungsi monoton tidak dalam mP . Tetapi bisakah kita menghitung pencocokan menggunakan sirkuit ukuran polinomial dengan beberapa negasi? Apakah ada sirkuit P / poli dengan negasi yang menghitung pencocokan? Apa trade-off antara jumlah negasi dan ukuran untuk pencocokan?$O(n^\epsilon)$

Markov membuktikan bahwa setiap fungsi input dapat dihitung dengan hanya negations. Versi konstruktif yang efisien dijelaskan oleh Fisher. Lihat juga eksposisi hasil dari blog GLL .⌈ log ( n + 1 ) $n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

Lebih tepatnya:

Teorema: Misalkan $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$ dihitung dengan sirkuit $C$ dengan $g$ gerbang, maka juga dihitung dengan sirkuit $C^*$ dengan $2g + O(n^2 \log^2 n)$ gerbang dan $\lceil \log (n+1) \rceil$ negations.

Gagasan utamanya adalah menambahkan untuk setiap kawat $w$ di $C$ kawat parell $w'$ di $C^*$ yang selalu membawa pelengkap $w$ . Kasus dasar adalah untuk kabel masukan: Fisher menjelaskan cara membangun sebuah sirkuit inversi $I(x) = \overline x$ dengan $O(n^2 \log^2 n)$ gerbang dan hanya $\lceil \log (n+1) \rceil$ negasi rceil . Untuk gerbang AND dari sirkuit $C$ , kita dapat menambah $a = b \land c$ dengan $a' = b' \lor c'$ , dan juga untuk gerbang OR. BUKAN gerbang di $C$ tidak ada biaya, kami hanya menukar peran $w$ dan $w'$hilir dari gerbang NOT. Dengan cara ini, seluruh rangkaian di samping subcircuit inverter adalah monoton.

AA Markov. Pada kompleksitas inversi dari suatu sistem fungsi. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

MJ Fischer. Kompleksitas jaringan terbatas-negasi - Survei singkat. Dalam Automata Theory dan Formal Languages , 71–82, 1975

Cara menghitung inversi bit menggunakan n negasi$2^n-1$$n$

Biarkan bit diurutkan dalam urutan menurun, yaitu i < j menyiratkan x i ≥ x j . Ini dapat dicapai dengan jaringan sortir monoton seperti jaringan sortir Ajtai – Komlós-Szemerédi.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Kita mendefinisikan rangkaian inversi untuk bit I n ( → x ) secara induktif: Untuk kasus dasar kita memiliki n = 1 dan I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Misalkan m = 2 n - 1 . Kami mengurangi I n (untuk 2 m + 1 ) bit menjadi satu I n - 1 gerbang (untuk $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$bit) dan satu gerbang negasi menggunakan gerbang dan ∨ . Kami menggunakan negasi untuk menghitung ¬ x m . Untuk i < m let y i : = ( x i ∧ ¬ x m ) ∨ x m + i . Kami menggunakan I n - 1 untuk membalikkan → y . Sekarang kita dapat mendefinisikan I n sebagai berikut:$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

Sangat mudah untuk memverifikasi ini membalik dengan mempertimbangkan nilai-nilai yang mungkin dari x n dan menggunakan fakta bahwa → x menurun.$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

Dari Michael J. Fischer, Kompleksitas jaringan terbatas-negasi - survei singkat, 1975.