Mengkarakterisasi persamaan yang tidak terlihat oleh aturan penulisan ulang yang konfluen

14

Menanggapi pertanyaan lain, Ekstensi teori beta kalkulus lambda , Evgenij menawarkan jawabannya:

beta + aturan {s = t | s dan t adalah istilah tertutup yang tidak dapat dipecahkan}

di mana istilah M dipecahkan jika kita dapat menemukan urutan istilah seperti yang M aplikasi 's kepada mereka sama dengan saya .

Jawaban Evgenij memberikan teori persamaan atas kalkulus lambda, tetapi tidak ada yang ditandai dengan sistem reduksi, yaitu seperangkat aturan penulisan ulang yang konfluen dan rekursif.

Mari kita sebut kesetaraan tak kasat mata atas teori kalkulus lambda, sistem reduksi yang menyamakan seperangkat istilah lambda tertutup yang tidak dapat diselesaikan, tetapi tidak menambahkan persamaan baru yang melibatkan istilah yang dapat dipecahkan.

Apakah ada persamaan yang tidak terlihat atas teori beta kalkulus lambda?

Postscript Contoh yang mencirikan ekivalensi yang tidak terlihat, tetapi tidak konfluen. Misalkan M = (λx.xx) dan N = (λx.xxx) , dua istilah yang tidak dapat diselesaikan. Menambahkan aturan penulisan ulang NN ke MM menginduksi kesetaraan tak terlihat yang mengandung MM = NN , tetapi memiliki pasangan kritis yang buruk di mana NN berkurang menjadi MM dan MMN , yang masing-masing memiliki satu penulisan ulang yang tersedia, yang ditulis ulang untuk dirinya sendiri.

pl.programming-languages lambda-calculus lo.logic Charles Stewart
sumber
Gagasan kesetaraan tak kasat mata terkait dengan gagasan perpanjangan konservatif . Perpanjangan konservatif dari sebuah teori adalah kumpulan istilah dan persamaan tambahan untuk teori yang tidak menambahkan persamaan baru antara istilah dalam teori asli.
Dave Clarke
@supercooldave: Istilah yang tidak dapat dipecahkan adalah istilah normal dari teori, seperti (λx.xx) (λx.xx) , dan dapat direduksi menjadi istilah lain (yang tidak dapat dipecahkan), sehingga merupakan bagian dari teori normal kalkulus lambda. Intinya adalah bahwa mereka ortogonal dengan semantik kalkulus lambda yang kita dapatkan dari teorema Böhm.
Charles Stewart
λβ
@ Evgenij: Ya. Sangat penting bahwa aturan baru itu konfluen, dan, tentu saja, sepele untuk menemukan contoh jika tidak. Saya akan menambahkan contoh untuk menunjukkan masalah ini.
Charles Stewart

Jawaban:

6

Iya. Dengan M = (λx.xx) per pertanyaan, mempertimbangkan ζ menulis ulang yang mengambil MM p ke MM .

Ini adalah pertemuan, dan mencirikan sistem reduksi di atas kalkulus lambda. Sketsa argumen untuk pertemuan: karena MM ditutup, kita hanya perlu mempertimbangkan pasangan kritis dari bentuk MMN 1 ... Nk . Ini bisa diatasi.

Ini adalah kesetaraan yang tidak terlihat, karena istilah dalam bentuk MMI ... I (dengan nol atau lebih I ) adalah istilah yang tidak dapat dipecahkan yang mengurangi hanya untuk diri mereka sendiri dalam kalkulus lambda dasar, dengan demikian berbeda, dan dengan demikian rangkaian tak terhingga dari ini istilah tidak trivial, dan jelas disamakan dengan ζ.

Saya tidak suka menerima jawaban saya untuk pertanyaan saya, jadi saya akan menerima jawaban dari seseorang yang memberikan argumen pertemuan yang kurang lengkap tidak masuk akal.

Charles Stewart
sumber