Normalisasi Lemma Noether untuk bidang terbatas

Pertanyaan saya adalah tentang teorema 4.1 dan 4.2 dalam "Teori Kompleksitas Geometris V" .

Teorema pertama menyatakan bahwa ada algoritma EXPSPACE untuk membangun hsop untuk (lihat definisi dalam makalah) pada (pada bidang aljabar tertutup yang tertutup dari karakteristik nol ).$\Delta[\text{det},m]$$\mathbb{C}$

Yang kedua menyediakan algoritma Monte-Carlo poli-waktu probabilistik untuk masalah yang sama.

Dapatkah hasil tesis ini diperluas menjadi penutupan aljabar bidang terbatas?

Seperti yang saya pahami, itu mungkin karena masalah Nullstellensatz Hilbert milik PSPACE dalam kasus ini juga. Teorema Heintz dan Schnorr juga berlaku untuk bidang karakteristik arbitrer ...

Saya percaya jawabannya adalah ya. Satu-satunya bagian yang belum saya periksa dengan cermat adalah:

• Argumen di tengah Teorema 4.2 menggunakan topologi yang kompleks, dan fakta bahwa penutupan Zariski = penutupan kompleks untuk set yang dikonstruksi Zariski atas . Bagian dari argumen ini harus diganti dengan teknik aljabar standar menggunakan seri Laurent, meskipun seperti yang saya katakan, saya belum memeriksa ini dengan seksama.$\mathbb{C}$

Dalam Teorema 4.1 dan 4.2, tampaknya satu-satunya tempat karakteristik nol yang benar-benar digunakan adalah bagian dari Teorema 4.1 (dengan asumsi GRH). Ini menggunakan hasil Koiran yang, dengan asumsi GRH, Hilull's Nullstellensatz ada di . Hasil Koiran sangat bergantung pada karakteristik nol (karena mempertimbangkan solusi dari sistem persamaan modulo, berbagai bilangan prima ). Ini tidak diperlukan untuk mendapatkan bagian dari Teorema 4.1, namun, hanya bagian (dengan asumsi GRH).$\mathsf{EXPH}$$\mathsf{PH}$$p$$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{EXPH}$