Prasyarat untuk belajar GCT

Tampaknya Teori Kompleksitas Geometrik membutuhkan banyak pengetahuan tentang matematika murni seperti geometri aljabar, teori representasi.

Walaupun saya seorang siswa CS dan TIDAK memiliki kelas matematika yang sangat abstrak dan murni, saya tertarik dengan program ini.

Apakah ada daftar "pengetahuan minimum" untuk mempelajari teori ini?

Daftar ini mencakup catatan kuliah departemen CS atau matematika, survei jurnal atau konferensi apa pun, dan buku teks matematika murni.

[ EDIT: Ditambahkan nanti ] Terima kasih atas komentar Anda.

Teori umum komputasi: Saya membaca buku Sipser dengan judul "Pengantar Teori Komputasi"

Teori Kompleksitas: Khususnya, saya tertarik pada model konkret untuk batas kompleksitas yang lebih rendah. Jadi saya membaca bagian "batas bawah konkret" dalam buku teks Arora-Barak. Saya juga memiliki pengetahuan dasar dalam beberapa pembimbing buku kompleksitas komunikasi yang ditulis oleh Nisan.

Matematika Dasar: Saya telah belajar tentang aljabar linier berbasis bukti seperti definisi umum ruang vektor, dll dan argumen calculcula berdasarkan argumen epsilon-delta.

Aljabar: Saya telah belajar tentang definisi dan contoh-contoh kelompok, cincin, dan bidang. Saya memiliki kelas untuk siswa cs, dan belum belajar tentang pencurian umum sistem aljabar ini.

Jawaban singkatnya : pengetahuan matematika yang benar-benar minimal untuk memahami bagian pertama dari rencana GCT, begitu Anda telah melihat sedikit kelompok, cincin, dan bidang, pada dasarnya dituangkan dalam Bab 3 dari tesis saya (plug sendiri tanpa malu-malu) ). Bab itu, bagaimanapun, tidak lengkap, karena saya tidak sampai pada teori representasi bagian dari hal-hal. Teori representasi sangat penting untuk paruh kedua rencana (itulah sebabnya saya berupaya memperluas bab itu untuk memasukkannya).

Jika Anda benar-benar ingin masuk ke GCT, Simetri, Representasi, dan Invarian oleh Goodman dan Wallach dan Tindakan dan Invarian Grup Aljabar oleh W. Ferrers Santos keduanya relatif mandiri dan memiliki banyak informasi bagus yang berkaitan dengan GCT. Saya tidak yakin apakah mereka sumber terbaik untuk dipelajari, karena saya hanya belajar tentang mereka setelah saya belajar banyak dari materi ini, tetapi mereka baik dalam hal rasio apa yang mereka sampaikan dengan apa yang relevan dengan GCT. Fulton dan Harris sangat bagus untuk teori representasi dan banyak contoh / latihan dalam buku ini relevan dengan GCT.

Jawaban yang lebih panjang : itu benar-benar tergantung pada apa / seberapa banyak Anda ingin belajar tentang GCT, seperti yang ditunjukkan Vijay. Topik di bawah ini adalah apa yang saya pikir merupakan latar belakang yang dibutuhkan, karena itulah pertanyaannya. Saya tidak yakin ini adalah daftar lengkap - saya akan merekomendasikan mencoba membaca beberapa makalah tentang GCT, dan ketika Anda tersesat pergi mencari bahan latar belakang. Saat Anda mempelajari materi latar belakang, sering kali kembali ke makalah GCT dan melihat apakah Anda dapat mengikuti lebih lanjut.

(Bergantung pada apa yang ingin Anda pelajari, saya sebenarnya tidak setuju dengan Zeyu bahwa Anda harus mencoba aljabar komutatif lulusan terlebih dahulu, meskipun pada titik tertentu dalam mempelajari GCT ini akan menjadi perlu.)

Jika Anda ingin memahami, misalnya, makalah FOCS Mulmuley terbaru , Anda akan ingin memahami:

• prinsip kekerasan vs keacakan (lihat Impagliazzo - Kabanets , dan mungkin juga daftar makalah Bill Gasarch tentang kekerasan dan keacakan )
• geometri aljabar dasar hingga Hilull's Nullstellensatz dan Noether's Normalalization Lemma. Ini dapat ditemukan di buku teks dasar tentang geometri aljabar dan mungkin di sebagian besar catatan kuliah di atasnya.
• beberapa teori invarian klasik (Anda tidak benar-benar membutuhkan teori invarian geoemtrik, skema dan buku Mumford-Fogarty-Kirwan untuk makalah ini). Buku Sturmfels 'Algorithms in Invariant Theory muncul di pikiran.
• $SL_n$ , hasil pada matriks invarian [Artin, Procesi, Razymslov], ...

Jika Anda ingin memahami garis besar umum pendekatan GCT tetapi dalam beberapa detail matematis , saya sarankan:

• Masalah permanen versus penentu. # Kelengkapan P permanen dan kelengkapan GapL determinan. Agrawal memiliki survei yang baik (hanya sedikit ketinggalan jaman) tentang ini, dan bukti kelengkapan dapat ditemukan dalam buku Burgisser's Completeness and Reductions in Algebraic Complexity Theory .

• Grup dan aksi grup (grup aljabar dan aksi grup aljabar sangat membantu, tetapi tidak perlu pada level ini). Anda harus memahami Teorema Orbit-Stabilizer.

• Affine geometri aljabar melalui Hilull's Nullstellensatz. Pada dasarnya Anda hanya perlu memahami korespondensi antara varietas aljabar affine dan cincin koordinat mereka.

• $GL_n$$GL_n$

Jika Anda ingin memahami secara mendalam apa yang sedang terjadi (dan saya tidak yakin saya bisa mengklaim sudah ada di sana, tetapi saya pikir saya tahu apa yang perlu saya ketahui untuk sampai ke sana), Anda mungkin juga harus mengerti:

• Struktur kelompok aljabar reduktif dan penutupan orbit dalam representasi mereka. Saya suka buku karya W. Ferrers Santos untuk ini, tetapi juga Linear Algebraic Groups oleh Borel , The Classical Groups oleh Weyl , dan klasik lainnya.

• Mesin Luna-Vust (Teorema Slice Luna, kompleksitas Luna-Vust)

• Tannakian Duality (lihat makalah oleh Deligne - Milne ; ini akan menjadi bacaan yang sulit tanpa latar belakang dalam teori kategori dan afin kelompok aljabar). Ini pada dasarnya mengatakan bahwa "kelompok aljabar affine ditentukan oleh perwakilan mereka." Saya tidak berpikir Anda membutuhkan keseluruhan makalah, sebanyak bagaimana memulihkan kelompok dari kategori representasi (Kor. 3.4).

• Teori representasi lebih banyak , terutama sebagaimana diterapkan pada cincin koordinat kelompok aljabar dan penutupan orbitnya. Saya sangat suka buku karya Goodman dan Wallach untuk ini, terutama karena pada dasarnya mandiri, dan ia memiliki banyak hal yang Anda butuhkan untuk memahami GCT. (Juga, banyak dari bagian paparan / sisi dan latihan di Fulton dan Harris tepat pada sasaran untuk GCT, terutama yang tentang koefisien Littlewood-Richardson dan Kronecker.)

Jika Anda ingin benar-benar bekerja pada teori representasi , Anda mungkin ingin memahami lebih banyak teori aljabar kombinatorik / representasi kombinatorial. Saya tidak benar-benar tahu semua referensi yang tepat untuk ini, tetapi tentu memahami aturan Littlewood-Richardson adalah suatu keharusan, dan buku Fulton, Young Tableaux baik untuk ini.

Koran-koran terbaru tentang hal yang saya ketahui adalah Blasiak , Kumar , dan Bowman, De Visscher, dan Orellana .

Bergantung pada arah yang ingin Anda tuju, Anda mungkin juga ingin melihat ke dalam kelompok-kelompok kuantum, meskipun ini tidak perlu (catatan: ini bukan kasus kelompok khusus, melainkan generalisasi dalam arah tertentu).

Pada sisi yang lebih geometris , Anda akan ingin melihat hal-hal seperti geometri diferensial untuk ruang singgung dan osculating, kelengkungan, varietas ganda, dan sejenisnya, yang mendasari batas bawah yang paling dikenal pada perm vs det karena Mignon --Ressayre dan diikuti oleh Landsberg - Manivel - Ressayre . ( Mignon - Ressayre dapat dipahami tanpa hal-hal ini, tetapi Anda dapat melihat kertas mereka secara longgar sebagai mempelajari kelengkungan varietas tertentu; untuk tampilan yang kurang longgar, lihat penggunaan varietas ganda di Landsberg - Manivel - Ressayre . ) (Lihat juga Cai, Chen, dan Li , yang memperluas Mignon - Ressayre ke semua karakteristik aneh.) Lihat juga Landsberg dan Kadish .

Jika Anda tertarik pada pendekatan GCT untuk perkalian matriks , itu semua tentang peringkat tensor, peringkat perbatasan, dan varietas garis potong. Saya sarankan melihat kertas karya Burgisser - Ikenmeyer , Landsberg dan Ottaviani , Landsberg , survei dan buku Landsberg . Tentu saja, akan lebih baik untuk mengetahui hal-hal klasik tentang perkalian matriks (baik batas atas dan bawah), tetapi itu adalah kaleng cacing yang terpisah.