Meningkatkan reduksi umum Cook untuk Clique menjadi SAT?

Saya tertarik mengurangi -Clique menjadi SAT tanpa membuat instance jauh lebih besar.$k$

Klik di NP sehingga dapat direduksi menjadi SAT menggunakan ruang logaritmik. Pengurangan buku teks Garey / Johnson langsung meledak contoh ke ukuran kubik . Namun, -Clique ada di P untuk setiap k tetap sehingga "seharusnya" ada pengurangan yang efisien setidaknya untuk k tetap .$k$$k$$k$

Salah satu cara untuk membangun reduksi adalah dengan menggunakan variabel SAT sebagai vektor karakteristik , dengan variabel yang disetel ke true yang menunjukkan bahwa simpul terkait ada di dalam klik. Pengurangan ini alami tetapi membuat contoh SAT dari ukuran kuadrat jika grafik jarang. Untuk grafik yang jarang, secara kuadrat banyak klausa diperlukan untuk menegakkan bahwa dalam setiap pasangan simpul yang tidak berdekatan paling banyak satu simpul mungkin ada di dalam klik tersebut.

Mari kita coba melakukan yang lebih baik daripada .$O(n^2)$

Pengurangan umum Cook / Schnorr / Pippenger / Fischer bekerja dengan pertama-tama mengambil NDTM yang terikat waktu secara polinomi yang menentukan bahasa, mensimulasikan NDTM dengan DTM yang tidak diketahui, mensimulasikan DTM yang tidak diketahui oleh sebuah sirkuit, dan kemudian mensimulasikan rangkaian dengan 3 Contoh -SAT. Ini menciptakan instance 3-SAT dari ukuran jika batas waktu NDTM adalah t ( n ) . Faktor log tampaknya tidak terhindarkan karena overhead ketika disimulasikan oleh mesin yang terlupakan. Untuk k -Clique tampaknya memiliki t $O(t(n)\log t(n))$$t(n)$$k$ , yang menghasilkan 3-SAT contoh O ( n k ( log n + log k ) ) ukuran, yangquasilinearuntuk tetap k . Dalam makalahnya tahun 1988 Cook bertanya apakah ada pengurangan generik yang lebih baik untuk bahasa dalam NP, dan sejauh yang saya tahu ini masih terbuka. Namun, Clique memiliki banyak struktur sehingga mungkin seseorang dapat melakukan yang lebih baik dalam kasus ini.$t(n) = O(nk)$$O(nk(\log n + \log k))$$k$

Apakah ada pengurangan yang lebih baik dari Clique ke SAT?

$k$$k$

(Saya telah bekerja dengan pengurangan yang tampaknya menghindari faktor log, tetapi sebelum membuang lebih banyak waktu pada detail berdarah untuk memverifikasi kebenarannya, saya ingin tahu apakah pengurangan tersebut sudah diketahui, atau jika tidak mungkin ada.)

$k$$O(nk)$$O(nk^2)$$k$$n$

$x_{iv}=1$$v$$i$$x_i$$i$$nk$

$(i,j)$$n$$(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$$v_1,\dots,v_m$$u$$u$$O(nk^2)$

$i$$x_i$$x_i < x_{i+1}$$O(n)$$O(nk)$

$k \lg n$$\lg n$$i$$k$$k(k-1)/2$$O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$$m =$