Diberikan grafik bebas 4 siklus , dapatkah kita menentukan apakah grafiknya memiliki 3 siklus dalam waktu kuadratik?

15

Masalah cycle adalah sebagai berikut:k

Instance: Grafik tidak berarah dengan simpul dan hingga n \ pilih 2 sisi.Gn(n2)

Pertanyaan: Apakah ada k siklus) di G ?

Latar Belakang: Untuk setiap k yang diperbaiki k, kita dapat menyelesaikan 2k cycle dalam waktu O(n2) .

Raphael Yuster, Uri Zwick: Menemukan Even Cycles Even Faster. SIAM J.
Discrete Math. 10 (2): 209-222 (1997)

Namun, tidak diketahui apakah kita dapat menyelesaikan 3-siklus (yaitu 3-klik) dalam waktu penggandaan matriks kurang dari.

Pertanyaan Saya: Dengan asumsi bahwa tidak mengandung 4 siklus, dapatkah kita menyelesaikan masalah 3 siklus dalam waktu ?GO(n2)

David menyarankan pendekatan untuk menyelesaikan varian masalah 3-siklus ini dalam waktu .O(n2.111)

Michael Wehar
sumber
Tampaknya jika graf siklus terkecil memiliki panjang setidaknya 5, maka ia memiliki paling banyak edge. Tautan: link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638GO(n32)
Michael Wehar
Info tambahan dapat ditemukan dalam makalah ini: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121
Michael Wehar

Jawaban:

29

Ya, ini diketahui. Itu muncul di salah satu referensi yang harus dikutip tentang penemuan segitiga ...

Yaitu, Itai dan Rodeh menunjukkan dalam SICOMP 1978 bagaimana menemukan, dalam waktu , sebuah siklus dalam grafik yang paling banyak memiliki satu sisi lebih dari siklus panjang minimum. (Lihat tiga kalimat pertama dari abstrak di sini: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) Ini adalah prosedur sederhana berdasarkan pada properti dari luasnya-pertama Cari.O(n2)

Jadi, jika grafik Anda 4-siklus gratis dan ada segitiga, algoritme mereka harus menampilkannya, karena tidak dapat menampilkan 5 siklus atau lebih besar.

Ryan Williams
sumber
13

Ini bukan kuadrat, tapi Alon Yuster dan Zwick ( "Mencari dan terus bertambah mengingat siklus panjang", Algorithmica 1997) memberikan algoritma untuk menemukan segitiga dalam waktu , di mana ω adalah eksponen untuk cepat perkalian matriks. Untuk grafik 4-siklus-bebas, plugging di ω < 2,373 dan m = O ( n 3 / 2 ) (yang lain ada 4 -siklus terlepas dari keberadaan 3 -cycles) memberikan waktu O (O(m2ω/(ω+1))ωω<2.373m=O(n3/2)43 .O(n3ω/(ω+1))=O(n2.111)

David Eppstein
sumber
1
Ini bagus! Saya sangat menghargai itu. :)
Michael Wehar
Yap, jika grafik tidak memiliki 4 siklus, maka ia memiliki paling banyak tepi. Tautan:books.google.com/...O(n32)
Michael Wehar
Jangan ragu untuk mengoreksi saya jika saya salah. Tampaknya "The Even Circuit Theorem" oleh Erdos mengatakan bahwa jika sebuah grafik bebas siklus, maka ia memiliki paling banyak O ( n 1 + 12ktepian. Tautan:sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073O(n1+1k)
Michael Wehar
Akibatnya, jika grafik tidak memiliki siklus 6, maka ia memiliki paling banyak tepi. Oleh karena itu, kita dapat menentukan apakah ia memiliki 3 siklus dalam waktuO(n1.876)menggunakan metode yang disarankan David. :)O(n43)O(n1.876)
Michael Wehar
Selanjutnya, untuk setiap tetap , jika G adalah 2 k -siklus bebas, maka kita dapat menentukan apakah G memiliki 3-siklus dalam waktu subquadratic karena G tidak memiliki terlalu banyak tepi. Namun, ketika k = 2 , saat itulah hal menjadi menarik. Bisakah kita mengalahkan O ( n 2.111 ) ? k>2G2kGGk=2O(n2.111)
Michael Wehar 615