Masalah cycle adalah sebagai berikut:
Instance: Grafik tidak berarah dengan simpul dan hingga n \ pilih 2 sisi.
Pertanyaan: Apakah ada siklus) di ?
Latar Belakang: Untuk setiap k yang diperbaiki , kita dapat menyelesaikan cycle dalam waktu .
Namun, tidak diketahui apakah kita dapat menyelesaikan 3-siklus (yaitu 3-klik) dalam waktu penggandaan matriks kurang dari.
Pertanyaan Saya: Dengan asumsi bahwa tidak mengandung 4 siklus, dapatkah kita menyelesaikan masalah 3 siklus dalam waktu ?
David menyarankan pendekatan untuk menyelesaikan varian masalah 3-siklus ini dalam waktu .
Jawaban:
Ya, ini diketahui. Itu muncul di salah satu referensi yang harus dikutip tentang penemuan segitiga ...
Yaitu, Itai dan Rodeh menunjukkan dalam SICOMP 1978 bagaimana menemukan, dalam waktu , sebuah siklus dalam grafik yang paling banyak memiliki satu sisi lebih dari siklus panjang minimum. (Lihat tiga kalimat pertama dari abstrak di sini: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) Ini adalah prosedur sederhana berdasarkan pada properti dari luasnya-pertama Cari.O(n2)
Jadi, jika grafik Anda 4-siklus gratis dan ada segitiga, algoritme mereka harus menampilkannya, karena tidak dapat menampilkan 5 siklus atau lebih besar.
sumber
Ini bukan kuadrat, tapi Alon Yuster dan Zwick ( "Mencari dan terus bertambah mengingat siklus panjang", Algorithmica 1997) memberikan algoritma untuk menemukan segitiga dalam waktu , di mana ω adalah eksponen untuk cepat perkalian matriks. Untuk grafik 4-siklus-bebas, plugging di ω < 2,373 dan m = O ( n 3 / 2 ) (yang lain ada 4 -siklus terlepas dari keberadaan 3 -cycles) memberikan waktu O (O(m2ω/(ω+1)) ω ω<2.373 m=O(n3/2) 4 3 .O(n3ω/(ω+1))=O(n2.111)
sumber