Apakah dapat diputuskan apakah panjang output transduser dibatasi oleh panjang input?

Transduser yang dipertimbangkan di sini adalah Wikipedia yang disebut transduser keadaan terbatas . Perilaku transduser , yaitu, hubungan yang dihitungnya, ditulis : kata adalah output untuk iff . $T$ $[T]$ $y$ $x$ $x[T]y$

Pertanyaan: Apakah masalah berikut dapat diputuskan:

Diberikan: transduser dan bahasa reguler Putuskan: Apakah ia berpendapat bahwa , word, menyiratkan bahwa? $T$ $L$
$\forall x \in L$ $\forall y$ $x[T]y$ $|y| \leq |x|$

Saya mencari analisis nontrivial / subklas yang dapat dipecahkan, pengurangan masalah yang diketahui dan / atau referensi terkait. (Sekarang bahkan tidak yakin itu dapat dipilih secara umum ...?)

Motivasi: masalah ini diilhami oleh analisis / penyelidikan ke teorema otomatis yang membuktikan masalah sejumlah teori secara umum dan yang dipelajari , khususnya dugaan Collatz .

ds.algorithms reference-request automata-theory regular-language dfa vzn
sumber

ps (seharusnya telah disebutkan, sebagaimana diketahui) transduser FSM cukup kuat untuk menghitung iterasi tunggal pada "deskripsi instan" TM . oleh karena itu masalahnya mungkin berhubungan dengan LBA dan CSL .

vzn

OlehAnda berbicara tentang jumlah output pada input , kan? Bukan ukuran output, dalam hal ini akan sangat mudah.

| F (x) |

$|F(x)|$

x

$x$

Michaël Cadilhac

x, F (x)

$x, F(x)$ keduanya kata danadalah panjang dari kata "output". punya beberapa ide tetapi jangan melihat apa pun langsung saat itu maka pertanyaannya. ini mungkin nontrivial karena misalnya untuk input / output pada beberapa transisi dll.

| F (x) |

$|F(x)|$

ϵ

$\epsilon$

vzn

Jadi Anda secara implisit berasumsi bahwa transduser Anda fungsional - notasi-bijaksana, itu tidak jelas bagi saya :-) Jadi bagaimana dengan yang berikut: Biarkan

menjadi transduser (mungkin tidak deterministik) dan

menjadi bahasa reguler yang diberikan. Ubah

menjadi transduser

sehingga memeriksa apakah inputnya dalam

, dan semua statusnya dapat dijangkau dan dapat dijangkau bersama. Lalu

untuk semua

jika jika tidak ada siklus sederhana dalam transduser

T

$T$

L

$L$

T

$T$

T^{'}

$T'$

L

$L$

| T (w) | \leq | w |

$|T(w)| \leq |w|$

w \in L

$w \in L$

T^{'}

$T'$ yang inputnya lebih kecil dari output, dan beberapa properti mudah tambahan pada transisi tidak muncul dalam SCC.

Michaël Cadilhac

baik. untuk "input lebih kecil dari output" yang Anda maksud selama siklus? pikir ini layak ditulis sebagai jawaban. ada cara lain yang berbeda untuk merumuskan masalah ini / terkait dengan kriteria yang lebih ketat yang mungkin tidak (as) mudah, mungkin akan mencoba lagi pada itu ("bagian 2 / sekuel / tindak lanjut") jika jawaban Anda tampaknya benar. masalah saat ini mungkin hampir merupakan kasus khusus dari masalah yang lebih luas.

vzn

Jawaban:

Kontributor lain menghapus jawabannya, mungkin untuk membiarkan saya memperluas komentar saya di atas, jadi ini dia.

Biarkan menjadi transduser mungkin tidak deterministik, dan menjadi bahasa biasa. Ubah menjadi transduser yang memeriksa bahwa inputnya adalah dalam (dengan, misalnya, mengubah set keadaan menjadi produk Cartesian set negara dan , dan memodifikasi fungsi transisi sehingga bagian dari negara bagian diperbarui dengan benar, sambil mempertahankan perilaku ) $T$ $L$ $T$ $T'$ $L$ $T$ $L$ $L$ $T$

Sebuah cabang dari adalah urutan sehingga adalah jalan menerima sederhana di , dan masing-masing adalah komponen yang sangat terhubung dari negara bagian yang meliputi tujuan (dan asal $T'$ $\rho_1 C_1\rho_2 C_2 \cdots \rho_n C_n \rho_{n+1}$ $\rho_1\rho_2 \cdots \rho_{n+1}$ $T'$ $C_i$ $T'$ $\rho_i$ ). Cabangjinakjika: $\rho_{i+1}$

Panjang input dari jalur lebih besar dari atau sama dengan panjang outputnya; $\rho_1\rho_2\cdots\rho_{n+1}$
Untuk setiap , setiap siklus sederhana dalam , panjang input dari siklus lebih besar dari atau sama dengan panjang outputnya. $i$ $C_i$

Fakta: Untuk setiap , menyiratkan jika semua cabang jinak. $\big[$ $x, y$ $x[T']y$ $|y| \leq |x|$ $\big]$

Buktinya agak langsung. Properti terakhir menjadi decidable (karena jumlah cabang dibatasi, dan jumlah siklus sederhana juga), ini menunjukkan bahwa masalah pertanyaannya adalah decidable.

Michaël Cadilhac
sumber

Itu terlihat dari deskripsi bahwa itu bahkan dapat dipilih dalam NL (maka dalam P), dengan asumsi

diberikan oleh FSA.

L

$L$

Emil Jeřábek

Saya mengirimi Anda pemberitahuan (maaf saya tidak membaca dengan cermat komentar Anda sebelum memposting) tetapi mungkin Anda tidak menerimanya setelah penghapusan jawaban :-) ... tapi sekarang - sebagai pengembalian uang waktu - Anda harus beralih ke (dan selesaikan!) yang lebih rumit ini: " Masalah terbuka : Apakah ada

dan pengkodean yang dapat dihitung

sehingga, untuk semua

?" :-D :-D

n \geq 1

$n \geq 1$

S_{n}

$S_n$

k \geq 1

$k \geq 1$

L_{\leq n}^{S_{n}} = L_{\leq n + k}^{S_{n}}

$L^{S_n}_{\leq n} = L^{S_n}_{\leq n+k}$

Marzio De Biasi

@ EmilJeřábek Memang, sangat jelas dalam co-NL (maka dalam NL).

Michaël Cadilhac

@MarzioDeBiasi Terima kasih! Saya memang tidak melihat pemberitahuan Anda ☺ Saya akan bekerja untuk mengembalikan waktu Anda ketika saya punya beberapa ☺

Michaël Cadilhac