Kompleksitas waktu dengan eksponen irasional?

Meskipun diakui saya belum melakukan analisis, dan ini bukan semata-mata masalah keputusan, saya bersedia untuk bertaruh algoritma penggandaan matriks yang paling dikenal (oleh Coppersmith, Winograd, Stothers, Williams, et al) memiliki eksponen irasional.

Ini dapat dilihat lebih jelas dalam kasus sederhana algoritma Strassen, yang memiliki waktu berjalan . $O(n^{\log_2 7})$

Dan, ini tidak persis apa yang Anda tanyakan, tetapi Ryan Williams telah menunjukkan bahwa semua algoritma yang memecahkan SAT dalam ruang memerlukan waktu , yang merupakan hal lain yang menarik dan tidak biasa penampilan konstanta irasional dalam TCS. $n^{o(1)}$ $n^{2 \cos(\pi/7) - o(1)}$

Joe Bebel
sumber

Algoritma di luar algoritma Strassen tidak benar-benar berjalan di

untuk eksponen

mereka nyatakan. Sebaliknya, untuk setiap

mereka berjalan dalam

. Ini disebabkan oleh beberapa batasan yang terlibat dalam memperoleh

O (n^{α})

$O(n^\alpha)$

α

$\alpha$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

O_{ϵ} (n^{α + ϵ})

$O_\epsilon(n^{\alpha+\epsilon})$

α

$\alpha$

Yuval Filmus

Kompleksitas waktu dari algoritma Strassen benar-benar merupakan artefak dari pengulangan Master

memecahkan ke

. Anda dapat menemukan banyak bilangan irasional favorit Anda dengan membuat contoh

dan

dengan nilai yang berbeda.

T (n) = a T (n / b) + f (n)

$T(n) = a T(n/b) + f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a})

$\Theta(n^{\log_b a})$

a

$a$

b

$b$

Huck Bennett

Ya, saya setuju dengan keduanya. Saya pikir saya sudah longgar dengan definisi P, dan belum benar-benar memeriksa apakah eksponen perkalian matriks tidak rasional. Meskipun saya akan terkejut jika mereka rasional, mengingat bagaimana mereka diturunkan. Jauh di dalam, perkalian matriks cepat masih menggemakan metode pembagian dasar dan penaklukan dasar Strassen, meskipun hal ini dijelaskan dalam bahasa tensor sekarang. Sebenarnya, meskipun mudah untuk membangun algoritma seperti yang Anda gambarkan dengan irasional

, saya tidak dapat memikirkan algoritma pembagian dan menaklukkan alami lainnya dengan properti seperti itu, selain perkalian.

\log_{b} a

$\log_b a$

Joe Bebel

Beberapa algoritma multiplikasi integer memiliki eksponen yang tidak rasional jika saya ingat dengan benar.

Yuval Filmus

Benar, seperti milik Karatsuba. Tapi ini masih berlipat ganda :)

Joe Bebel

Kompleksitas waktu dengan eksponen irasional?

Jawaban: