Apakah bukti dengan asumsi hukum fisik dianggap cukup?

8

Saya selalu bertanya-tanya apakah bukti dalam ilmu komputer akan dianggap sebagai bukti yang cukup dari proposisi jika mereka perlu mengambil hukum fisik?
Sebagai contoh, saya bertanya-tanya apa yang akan terjadi jika seseorang suatu hari nanti membuktikan P! = NP dengan asumsi hukum kedua termodinamika. Apakah ini akan menyelesaikan perdebatan P! = NP?
Atau apakah masalah masih dianggap belum terselesaikan jika bertumpu pada asumsi fisik?

proofs pengguna541686
sumber
6
Hukum kedua termodinamika tidak ada hubungannya dengan P NP, yang merupakan pertanyaan matematika murni. Itu pada dasarnya sama dengan mengatakan bahwa relativitas diperlukan untuk membuktikan teorema Pythagoras. ≠
Peter Shor
@PeterShor: Saya tidak mengerti mengapa, meskipun itu mungkin karena saya tidak tahu mengapa. Tapi saya merasa seperti secara intuitif saya tidak akan sepenuhnya terkejut jika ada koneksi. Ini jelas murni hipotetis, tetapi jika setiap bit memiliki peningkatan minimum terkait entropi, misalnya, maka mungkin Anda dapat menggunakan perubahan entropi dari input ke output untuk menyatakan bahwa sejumlah bit pasti telah dibalik, yang akan mengambil jumlah minimum mis waktu eksponensial. Atau sesuatu seperti itu, saya tidak tahu. Apakah bukti seperti itu sepenuhnya keluar dari pertanyaan? (Kenapa?)
user541686
@ Kaveh: Saya tidak punya contoh, tapi ini yang potensial: Saya pikir masuk akal untuk bertanya apakah aksioma seperti aksioma pilihan "benar-benar" berlaku di dunia fisik. Mungkin itu, mungkin tidak; mungkin kita tidak akan pernah memiliki cara untuk mengujinya. Tapi kita tentu bisa bertanya. Dan jika ada cara fisik untuk membuktikan bahwa itu (tidak), maka itu akan menyiratkan bahwa setiap teorema yang didasarkan padanya (tidak) benar di dunia fisik. Jadi jika saya menerima bahwa yang disebutkan di atas adalah pertanyaan yang valid, maka tidak memerlukan lompatan besar iman untuk bertanya apakah ada aksioma yang mendasari, katakanlah, P vs NP.
user541686
6
Dalam komentar Anda di atas, saya pikir Anda membingungkan dua hal yang berbeda: penggunaan ide yang berasal dari hukum fisika dalam bukti matematika, dan penggunaan hukum fisika aktual dalam bukti matematika. Misalnya, ada banyak bukti matematis yang menggunakan definisi entropi matematis; Namun, definisi matematis ini ada dan berguna secara independen apakah hukum termodinamika berlaku dalam fisika atau tidak. Contoh lain - kita dapat menggunakan ruang Euclidean dalam bukti matematika, terlepas dari kenyataan bahwa ruang fisik aktual melengkung dan bukan Euclidean.
Peter Shor

Jawaban:

7

Sepertinya paling tidak mungkin bagi saya, tetapi saat ini sangat tidak mungkin. Untuk meringkas di bawah, itu karena pernyataan matematika saat ini (katakanlah) P vs NP benar-benar independen dari hukum fisika, jadi orang perlu menggambarkan model komputasi baru yang bergantung pada aksioma fisika.

Poin kunci yang dibuat Peter Shor dalam komentarnya adalah bahwa pertanyaan teori CS, seperti P vs NP, merujuk pada model matematika yang sangat sederhana dan bergaya. Itu bukan pernyataan tentang dunia nyata. Mereka hanya mengatakan "dalam model matematika ini, ___ benar".

Sekarang, orang memang sering memiliki hukum empiris, seperti tesis Gereja-Turing, yang menyatakan bahwa dunia nyata bertindak seperti model matematika ini. Tapi itu koneksi satu arah (itu tidak berarti bahwa model matematika harus bertindak seperti dunia nyata!). Untuk menyempurnakan contoh Peter Shor, teorema Pythagoras hanya membutuhkan gagasan bilangan real dan bidang / jarak Euclidean. Model ini jauh lebih sederhana daripada dunia nyata dan tidak melibatkan misalnya gravitasi, elektromagnetisme, termodinamika, dll. Dan bahkan jika teorema Pythagoras kadang-kadang salah dalam kenyataan karena komplikasi ini, ini tidak akan mempengaruhi kebenaran matematisnya.

Demikian pula, model untuk mesin Turing dan definisi P, NP, dll jauh lebih sederhana daripada dunia nyata. Model ini tidak melibatkan hal-hal seperti gravitasi, entropi termodinamika, dll. Kebenaran P vs NP tidak bergantung pada apakah komputasi benar-benar dapat terjadi secara efisien di dunia nyata.

Sekarang, bagi saya secara hipotesis mungkin bahwa di masa depan, kita dapat menemukan hubungan yang lebih dekat antara hukum fisika dan hukum komputasi. Apa yang akan terjadi kemudian adalah bahwa model matematika dari Mesin Turing harus diperluas untuk memperhitungkan koneksi ini. Orang kemudian harus merumuskan definisi baru P dan NP untuk model baru ini dan berpendapat bahwa ini "lebih baik" daripada model dan definisi lama. Kemudian, dalam model sadar-fisika baru ini, orang bisa memiliki aksioma fisika yang digunakan sebagai bukti. Tapi ini sepertinya sangat tidak mungkin / jauh dari terjadi, setidaknya bagi saya.

usul
sumber
4
Jika kita merevisi model dan mengubah P dan NP, itu tidak akan menjadi apa yang kita sebut sebagai "P vs NP" lagi, itu akan menjadi pertanyaan yang berbeda. Kita sudah tahu P tidak sama dengan komputasi efisien dalam praktek. Alasan kami menjaga P adalah karena ini adalah penyederhanaan yang berguna bukan karena menangkap realitas perhitungan dalam praktik.
Kaveh
Agar adil, kami juga bahkan tidak tahu apakah tidak mungkin membuat mesin bubut yang tidak deterministik. Atau mesin PostBQP. Bagian yang aneh adalah bahwa ketika kita membuktikan hal-hal tentang model perhitungan yang dapat kita buat, kita dapat mengatakan hal-hal tentang model-model yang beberapa orang anggap lebih "benar" karena mereka berlaku untuk hal-hal nyata. Tetapi kami sama-sama mempelajari algoritma tanpa run-time yang layak atau model perhitungan yang tidak pernah dapat diwujudkan dalam praktik, karena apakah model itu sendiri dapat direalisasikan atau tidak tergantung pada apa yang dapat kami buktikan tentang mereka.
Phylliida
5

Saya suka pertanyaannya ... tetapi jawabannya masih "tidak", seperti yang ditunjukkan oleh kontributor lain. Pertanyaan itu sendiri bersifat metamathematis, itulah sebabnya saya menyukainya.

Matematika dan fisika adalah alam semesta epistemologis yang berbeda, dan tidak pernah keduanya bertemu. Alam semesta matematika dibangun dari 1) definisi (seperti bilangan bulat) 2) aksioma dan 3) aturan dari mengontrak pernyataan benar baru dari pernyataan benar yang diketahui (seperti Modus Ponens, yang menentukan bahwa A-> B dan A bersama-sama menyiratkan B). Benda-benda fisik tidak memiliki jalan masuk ke alam semesta semacam itu.

Alam semesta fisik adalah materi - dan, seperti yang dikatakan Schopenhauer, materi adalah kausalitas dan kausalitas adalah materi. Objek dan bukti matematika tidak memiliki dampak seperti itu pada dunia fisik (meskipun mungkin ada dampak dari orang yang percaya pada klaim matematika dan bukti mereka). Sains terdiri dari sistem yang menggambarkan, kurang lebih dengan setia, fenomena yang dapat diamati dari dunia fisik. Saya pikir Karl Popper menangkap epistemologi ini dengan sangat baik dalam teorinya tentang pemalsuan empiris. Sains menggunakan matematika dalam deskripsinya, tetapi sains itu sendiri bukanlah dunia yang fenomenal.

Fenomena alam tidak harus mematuhi matematika kita, dan matematika kita tidak dapat dibuktikan benar atau salah oleh dunia fisik. Tapi bukan kebetulan bahwa matematika tampaknya menangkap aspek dari apa yang kita amati - kita berhasil seperti itu. Dunia fenomenal mengilhami definisi yang merupakan bagian dari alam semesta matematika.

Tidak begitu mengejutkan bahwa pertanyaan ini muncul dalam ilmu komputer, karena komputer adalah objek fisik utama untuk meniru dunia matematika .

Gara Pruesse
sumber
2

Sebagai contoh, saya bertanya-tanya apa yang akan terjadi jika seseorang suatu hari nanti membuktikan P! = NP dengan asumsi hukum kedua termodinamika.

premis pertanyaan ini berorientasi pada penelitian tetapi agak tercampur / terbelakang dalam pengertian berikut. hubungan yang dalam antara termodinamika dan kompleksitas CS memang telah dibuktikan dalam bidang "kacamata spin" di mana proses orientasi magnetik yang menetap selama pendinginan erat meniru transisi fase yang ditemukan dalam SAT, dan koneksi ini terus dieksplorasi dan dianggap sebagai banyak lebih bermakna dari sekedar kebetulan.

dalam arti "kekerasan" komputasi tampaknya menjadi "penjelasan" atau model matematika dasar untuk proses termodinamika mendasar. juga termodinamika memiliki larangan terhadap mesin energi abadi tetapi yang juga dapat dilihat sebagai kendala umum terhadap mesin yang tidak dapat melebihi "batas kecepatan fisik" tertentu. jika P! = NP maka mesin fisik yang menyelesaikan masalah NP dalam waktu P tidak akan ada dan akan "menentang hukum fisika" yaitu dalam "kecepatan" di mana ia "memanipulasi informasi". tetapi banyak fisikawan menyimpulkan hukum fisika tampaknya pada dasarnya bermuara pada manipulasi informasi. jadi singkatnya, sangat mungkin trennya adalah bahwa teori kompleksitas komputasional di masa depan akan lebih baik menjelaskan undang-undang termodinamika mendasar.

lebih detail, lihat misalnya tesis Phd ini (2013):

vzn
sumber