Penggunaan

Saya bukan ilmuwan komputer teoretis. Saya seorang ahli teori homotopy yang stabil menggunakan -kategori. Saya telah melihat aplikasi teori kategori dan teori topos untuk ilmu komputer teoretis, dan saya bertanya-tanya apakah ada cara seseorang dapat menggunakan ∞ -kategori (dan lebih disukai bagi saya, teori homotopy yang stabil) dalam ilmu komputer teoretis. Saya pikir HoTT harus menjadi salah satu aplikasi seperti itu, tetapi saya mungkin salah karena saya tidak tahu apa-apa tentang HoTT. (Jadi saya juga tidak tahu bagaimana HoTT digunakan dalam TCS.)$\infty$$\infty$

Menerapkan ide-ide teoritik homotopy yang lebih tinggi untuk CS masih merupakan bidang yang sangat baru! Pemahaman saya adalah bahwa itu bahkan tidak setua bidang matematika.

Tentu saja HoTT adalah pendorong utama untuk ide-ide seperti itu. Bahkan di sana, hanya ada beberapa aplikasi teori kategori "dimensi" lebih tinggi dari 2.

Satu "ilmu komputer-y" yang bagus adalah Homotopical Patch Theory oleh Anguili et al . Mereka menunjukkan bahwa beberapa operasi umum dan properti yang melekat gitseperti sistem kontrol versi dapat paling baik dipahami menggunakan teori tipe homotopy.

Kereta pemikiran lain yang agak tidak terkait adalah pekerjaan yang menarik pada hubungan antara (2-) teori Homologi dan pertemuan sistem penulisan ulang istilah (atau struktur yang lebih kompleks seperti aljabar yang lebih tinggi). Beberapa contohnya adalah

Y. Guiraud Pertemuan penulisan ulang linear dan homologi aljabar .

Y. Lafont & A. Proute Church-Rosser properti dan homologi monoids .

Ilmuwan komputer teoretis melakukan banyak hal, salah satunya adalah pemodelan matematika dari berbagai hal yang berhubungan dengan komputer. Misalnya, kami ingin menyediakan model matematika bahasa pemrograman, sehingga orang dapat benar-benar membuktikan hal-hal tentang program (seperti membuktikan bahwa program melakukan apa yang seharusnya). Dalam pengertian ini, selalu baik untuk memiliki persediaan teknik matematika yang baik yang akan memberi kita model untuk berbagai hal yang dihasilkan oleh para ilmuwan komputer.

$D$$D \cong D^D$

$(\infty,1)$$\infty$

Satu-satunya hubungan antara teori homotopy stabil dan teori tipe yang saya ketahui adalah karya Matthijs Vákár pada teori tipe dependen linier . Rupanya, salah satu modelnya adalah teori homotopy stabil, tetapi ini belum dipublikasikan, hanya mengisyaratkan pada akhir makalah terkait.

Tempat lain di mana Anda bisa mencari aplikasi teori homotopy (stabil atau tidak) dalam ilmu komputer adalah topologi komputasi . Di sana homologi persisten baru-baru ini menemukan banyak kegunaan, dan orang-orang pasti melihat aplikasi homotopy-teoretis dari jenis yang sama. Ide dasarnya adalah menggunakan topologi aljabar untuk mempelajari properti dataset besar.

Tanpa ragu ada aplikasi lain. Cody menyebutkan penggunaan teori homotopy (dalam kedok teori tipe homotopy) untuk mempelajari sistem kontrol revisi. Ada juga aplikasi teori homotopy untuk mempelajari komputasi paralel dan cuncurrent, seperti " topologi aljabar dan konkurensi ". Seseorang yang lebih berpengetahuan mungkin cukup baik untuk memberikan referensi yang lebih baik. Bagaimanapun, Anda akan melihat bahwa semua aplikasi ini (dengan kemungkinan pengecualian dari teori tipe homotopy) cukup tidak canggih dari sudut pandang matematika - yang tidak berarti mereka tidak berharga!

ini mencoba membuat sketsa koneksi yang lebih umum. beberapa program ini dapat dianggap sebagai perpanjangan yang sangat baru & lebih rumit dari korespondensi Curry-Howard lama yang dicatat antara bukti dan program. ada juga hubungan dekat dengan pembuktian teorema otomatis (alias asisten bukti). banyak teknik yang digunakan dalam bukti pembuktian teorema otomatis tidak sepenuhnya didasarkan pada matematika yang solid dan teori homotopy menambahkan landasan yang lebih kuat.

proposal ini oleh tim yang cukup besar menangkap / mensurvei banyak koneksi yang diketahui saat ini dengan CS: Homotopy Type Theory: Unified Foundation of Mathematics and Computation (MURI Proposal)

Licata dari tim itu terutama tertarik pada aplikasi ilmiah komputer dari teori homotopy. beberapa pembicaraannya, dan satu oleh pendiri Voevodsky tentang aksioma Univalence yang menonjol :

• Aplikasi Matematika dan Komputasi Teori Tipe Homotopy. Kolokium di University of Iowa. November, 2013. [ slide ]

• Bukti yang Diperiksa Komputer dalam Logika Teori Homotopy. Diundang Bicara di Asosiasi untuk Logika Simbolik Amerika Utara. Mei, 2013. [ slide ]

• Pemrograman dan Pembuktian dalam Teori Tipe Homotopy. Kolokium di Wesleyan, Princeton, dan Cornell. Spring, 2013. [ slide ]

• Ilmu Komputer dan Teori Homotopy , kuliah video 10m oleh Voevodsky / IAS