Mengaitkan univalensi dengan teori kateogri dengan konsep kerangka

Katakanlah saya bekerja dalam teori tipe homotopy dan satu-satunya objek penelitian saya adalah kategori konvensional.

Ekivalensi sini diberikan oleh functors dan G : C ⟶ D yang menyediakan ekuivalensi kategori C ≃ D . Ada isomorfisme alami α : n a t ( F G , 1 C ) dan β : n a t ( G F , 1 D ) sehingga functor dan "inverse" functor diubah menjadi unit functor.$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

Sekarang univalence berhubungan dengan ekuivalen dengan tipe identitas dari teori tipe disengaja yang telah saya pilih untuk berbicara tentang kategori. Karena saya hanya berurusan dengan kategori dan mereka adalah setara jika mereka memiliki kerangka isomorfik , saya bertanya-tanya apakah saya dapat mengekspresikan aksioma univalensi dalam hal meneruskan ke kerangka kategori.${\bf C}={\bf D}$

Atau, kalau tidak, bisakah saya mendefinisikan tipe identitas, yaitu ekspresi sintaksis dengan cara yang pada dasarnya mengatakan "ada kerangka (atau isomorphi) dan C dan D keduanya setara dengan itu."?${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(Di atas saya mencoba menafsirkan teori tipe dalam hal konsep yang lebih mudah untuk didefinisikan - kategori teori pengertian. Saya berpikir tentang ini karena secara moral, bagi saya tampaknya aksioma "mengoreksi" teori tipe yang disengaja oleh hard-coding yang prinsip kesetaraan , yang sudah menjadi bagian alami dari perumusan pernyataan teoritis kategori, misalnya menspesifikasikan objek hanya dari segi sifat universal.)

Saya merujuk Anda ke Bab 9 buku HoTT. Secara khusus, suatu kategori didefinisikan sedemikian rupa sehingga objek isomorfiknya sama, lihat Definisi 9.1.6 . Seperti Contoh 9.1.15 tunjukkan, sebenarnya tidak ada gagasan yang masuk akal tentang "kerangka" di HoTT. Ini karena kesetaraan sangat lemah sehingga sudah berarti "isomorfik".

Selanjutnya, Teorema 9.4.16 mengatakan

$A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

Teorema tersebut memberi tahu kita bahwa Aksioma Univalence memberi kita semacam mimpi teori teori kateory: kategori-kategori yang setara adalah sama.

$1$$0$