Menghitung jumlah siklus Hamiltonian dalam grafik Hamilton kubik?

Adalah -hard untuk menemukan perkiraan faktor konstan dari siklus terpanjang dalam grafik Hamiltonian kubik. Grafik Hamilton Hamilton memiliki setidaknya dua siklus Hamilton.$NP$

Apa batas atas dan batas bawah paling dikenal pada jumlah siklus Hamilton dalam grafik Hamilton kubik? Diberikan grafik Hamiltonian kubik, Apa kompleksitas menemukan jumlah siklus Hamiltonian? Apakah itu # -hard?$P$

Menghitung sirkuit Hamiltonian dalam grafik Hamiltonian 3-reguler adalah # P-complete, sebagai berikut.

Sketsa bukti . Keanggotaan dalam #P adalah sepele, jadi kami hanya akan menunjukkan # P-hardness.

Bagian 3 dari Liśkiewicz, Ogihara dan Toda [LOT03] menunjukkan bahwa penghitungan sirkuit Hamilton dalam grafik 3-reguler (dan pada kenyataannya planar pada saat yang sama) adalah # P-complete. Selain itu, pengurangan mereka dari # 3SAT memetakan formula 3CNF yang memuaskan ke grafik Hamiltonian. Oleh karena itu, Anda dapat mengurangi # 3SAT untuk menghitung sirkuit Hamiltonian dalam grafik Hamiltonian 3-reguler dengan terlebih dahulu menambahkan satu solusi sepele ke formula 3CNF yang diberikan dan kemudian menguranginya untuk menghitung sirkuit Hamiltonian dengan menggunakan pengurangan pada [LOT03]. QED .

[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara dan Seinosuke Toda. Kompleksitas penghitungan jalan yang menghindar diri dalam subgraph dari grid dua dimensi dan hypercubes. Theoretical Computer Science , 304 (1-3): 129–156, Juli 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$ .

Jika seseorang memungkinkan multigraf maka siklus yang berganti-ganti antara ikatan tunggal dan ganda memiliki $2^{n/2}$ Siklus Hamiltonian, dan ini ketat.

Beberapa grafik memiliki tepat tiga sirkuit hamiltonian:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

Jika seseorang memulai dengan grafik bidang tetrahedron, yang mengandung tepat tiga sirkuit hamiltonian, dan membuat grafik planar 3 yang terhubung baru dengan memotong satu simpul tunggal, ia mendapat grafik baru yang memiliki tiga sirkuit hamilton persis. Jika seseorang terus memotong satu titik pada satu waktu, ia mendapat keluarga grafik dengan tepat tiga sirkuit hamiltonian.

Komentar tambahan:

Ada juga beberapa pekerjaan pada pertanyaan grafik mana selain siklus memiliki tepat satu sirkuit hamiltonion:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

Sebuah makalah survei yang sangat bagus tentang sirkuit hamltionian dalam jenis grafik khusus yang memiliki bagian berurusan dengan jumlah sirkuit hamiltonian, dan memperbaiki beberapa masalah dengan kertas di atas adalah:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf