Contoh di mana pelanggaran kondisi positivitas yang ketat pada tipe induktif menyebabkan inkonsistensi

Kebanyakan sistem yang diketik tergantung memiliki kondisi positif yang ketat untuk jenis induktif. Adakah yang tahu contoh di mana pelanggaran kondisi menyebabkan inkonsistensi dalam sistem?

Sebenarnya mungkin untuk mengendurkan sikap positif yang ketat dan tetap konsisten. Sebagai contoh, itu hanya cukup untuk memiliki kondisi positif. Artinya, kami dapat menerima definisi tipe seperti

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

di mana variabel tipe rekursif terjadi di sebelah kiri sejumlah panah dan mempertahankan konsistensi.

$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Karena teori tipe dependen sering digunakan untuk memformalkan matematika, perancang mereka biasanya ragu-ragu untuk menambahkan prinsip-prinsip yang tidak kompatibel dengan semantik teori-set, bahkan jika mereka konsisten.

$T$

$F$$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

$F$$F : \ast \to \ast$

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ $\mathrm{map}\;id = id$$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Sekarang, kita dapat mendefinisikan operator tipe untuk set ganda

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

$T = \mu C$