Saya punya pertanyaan naif: apakah ada mesin Turing yang pemutusannya benar tetapi tidak dapat dibuktikan oleh teori yang alami, konsisten, dan tidak aksiomatis? Saya meminta bukti keberadaan belaka daripada contoh khusus.
Ini mungkin memiliki beberapa hubungan dengan analisis ordinal . Memang, untuk mesin Turing , kita dapat mendefinisikan sebagai teori paling tidak konsisten dari teori yang membuktikan pemutusannya (atau yang paling tidak dari tata cara ini). Jadi saya kira itu sama dengan bertanya apakah ada sedemikian sehingga ?O ( M ) M O ( M ) ≥ ω C K 1
Jawaban:
Pemutusan mesin Turing (pada masukan tetap) adalah kalimat dan semua teori aritmatika biasa orde pertama yang lengkap untuk Σ 0 1 kalimat, yaitu semua benar Σ 0 1 pernyataan yang dapat dibuktikan dalam teori ini.Σ01 Σ01 Σ01
Jika Anda melihat totalitas sebagai pengganti berhenti , yaitu TM berhenti pada semua input, maka itu adalah -complete kalimat dan untuk setiap teori konsisten yang dapat dihitung secara aksioma yang cukup kuat (misalnya memperpanjang mengatakan teori Q Robinson ) ada TM yang totalitasnya tidak dapat dibuktikan dalam teori itu.Π02 Q
sumber
Saya bukan ahli logika, tapi saya yakin jawabannya tidak . Jika mesin Turing berhenti, dan sistemnya cukup kuat, Anda harus bisa menuliskan sejarah perhitungan lengkap mesin Turing pada inputnya. Ketika seseorang memverifikasi bahwa hasil perhitungannya adalah urutan pengakhiran transisi, orang dapat melihat bahwa mesin berhenti. Terlepas dari bagaimana Anda meresmikan mesin Turing dalam teori Anda, Anda harus dapat menunjukkan dalam teori yang masuk akal bahwa mesin yang berhenti sebenarnya berhenti. Dengan analogi, pikirkan untuk mencoba membuktikan bahwa jumlah yang terbatas sama dengan apa yang sama dengan itu; misalnya, buktikan bahwa 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42, atau 5 + 5 + 5 = 15. Sama seperti ini selalu mungkin selama jumlah langkah terbatas, demikian juga membuktikan hasil perhitungan yang terbatas.
Sama seperti poin jelas tambahan - bahkan jika teori Anda tidak konsisten, Anda masih dapat menunjukkan bahwa mesin berhenti, sebenarnya bahkan jika tidak, karena Anda dapat membuktikan wff dalam teori yang tidak konsisten, terlepas dari apakah itu sebenarnya benar.
sumber