Apakah ini kondisi yang setara untuk poset aljabar?

12

Definisi "algebraic poset" dalam Continuous Lattices and Domains , Definisi I-4.2, mengatakan bahwa, untuk semua ,xL

  • set harus merupakan set yang diarahkan, danA(x)=xK(L)
  • x=(xK(L) .

Di sini adalah poset, adalah himpunan elemen kompak dari , dan berarti .K ( L ) L x { y y x }LK(L)Lx{yyx}

Saya sedikit terkejut dengan kondisi pertama. Ini adalah argumen yang mudah untuk menunjukkan bahwa, jika dan berada di maka juga berada di . Jadi, semua subset terbatas hingga memiliki batas atas di dalamnya. Satu-satunya pertanyaan adalah apakah subset kosong memiliki batas atas di dalamnya, yaitu, apakah tidak kosong di tempat pertama. Begitu,k 2 A ( x ) k 1k 2 A ( x ) A ( x ) A ( x )k1k2A(x)k1k2A(x)A(x)A(x)

  • Apakah boleh mengganti kondisi pertama dengan nonempty?A(x)
  • Apa contoh situasi di mana kosong?A(x)

Catatan ditambahkan: Bagaimana dalam A (x)? Pertama, karena dan , kami memiliki . Kedua, dan kompak. Jadi, setiap perangkat terarah yang melampaui "mereka" harus "melewati" mereka. Misalkan set diarahkan juga melampaui , yaitu, . Karena telah melampaui dan , itu pasti telah melewati mereka, yaitu, ada elemen sedemikian rupa sehingga dank 1x k 2x k 1k 2x k 1 k 2 u k 1k 2 k 1k 2u k 1 k 2 y 1 , y 2u k 1y 1 k 2y 2k1k2k1xk2xk1k2xk1k2uk1k2k1k2uk1k2y1,y2uk1y1k2y2 . Karena adalah set yang diarahkan, ia harus memiliki batas atas untuk dan , katakanlah . Sekarang, . Ini menunjukkan bahwa kompak. Kedua bagian tersebut bersama-sama mengatakan .y 1 y 2 y k 1k 2y d k 1k 2 k 1k 2A ( x )uy1y2yk1k2ydk1k2k1k2A(x)

Uday Reddy
sumber
Anda mengatakan: "jika k1 dan k2 berada di A (x) maka k1⊔k2 juga berada di A (x)" - bagaimana Anda membuktikan ini?
Artem Pelenitsyn
@ ArtemPelenitsyn: Saya telah menambahkan argumen saya ke pertanyaan.
Uday Reddy
1
Harap perbaiki saya jika saya salah, tetapi: dalam catatan Anda, Anda menganggap bahwa k1⊔k2 ada di L. Tapi L hanya poset, bukan set yang diarahkan, jadi Anda tidak bisa melakukan itu.
Artem Pelenitsyn
1
Saya juga menemukan fakta bahwa kondisi kedua sudah cukup dalam cpo lengkap lengkap di sini: homepages.inf.ed.ac.uk/libkin/papers/alcpo.pdf (p. 1)
Artem Pelenitsyn
@ArtemPelenitsyn. Bagus terima kasih banyak. Waspadai asumsi tersembunyi!
Uday Reddy

Jawaban:

12

Contoh di mana kosong adalah himpunan bilangan real dengan pemesanan biasa. Tidak memiliki elemen kompak sama sekali.A(x)R

Jika kita mengasumsikan kondisi kedua maka tidak boleh kosong: jika maka dengan kondisi kedua adalah gabungan kosong, maka elemen terkecil , yang kompak, oleh karena itu , sebuah kontradiksi.A(x)A(x)=xLxA(x)=

Proposal Anda untuk mengganti kondisi pertama dengan non-kekosongan tidak berfungsi. Pertimbangkan poset yang terdiri dari dua salinan dan , di mana kita menulis dan untuk dua salinan dari , dipesan oleh:LNι1(n)ι2(n)n

  • ι1(m)ι1(n)mn
  • ι2(m)ι2(n)mn
  • x untuk semua .x

Dengan kata lain, kita memiliki dua rantai yang tak tertandingi dengan supremum bersama. Semua elemen kompak kecuali . Sekarang:

  1. xK(L) , jelas.

  2. x=(xK(L)) , jelas.

  3. Set tidak diarahkan.K(L)=N+N

Andrej Bauer
sumber
1
Keren. Contoh yang bagus!
Uday Reddy