Mewakili ATAU dengan polinomial

Saya tahu bahwa secara sepintas fungsi OR pada variabel dapat direpresentasikan dengan tepat oleh polinomial seperti: , yang bertingkat .x 1 , ... , x n p ( x 1 , ... , x n ) p ( x 1 , ... , x n ) = 1 - ∏ n i = 1 ( 1 - x i )$n$$x_1,\ldots, x_n$$p(x_1,\ldots,x_n)$$p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$$n$

Tapi bagaimana saya bisa menunjukkan, apa yang tampak jelas, bahwa jika adalah polinomial yang mewakili fungsi OR dengan tepat (jadi ), lalu ?∀ x ∈ { 0 , 1 } n : p ( x ) = ⋁ n i = 1 x i deg ( p ) ≥ $p$$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$$\deg(p) \ge n$

Biarkan $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ menjadi fungsi boolean. Jika memiliki representasi polinomial $P$ maka ia memiliki representasi polinomial multilinear $Q$ derajat $\deg Q \leq \deg P$ : ganti saja daya $x_i^k$ , di mana $k \geq 2$ , dengan $x_i$ . Jadi kita bisa membatasi perhatian kita pada polinomial multilinear.

Klaim: The polinomial , sebagai fungsi { 0 , 1 } n → R membentuk dasar untuk ruang dari semua fungsi { 0 , 1 } n → R .$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

Bukti: Pertama-tama kami menunjukkan bahwa polinomial bebas linear. Misalkan untuk semua ( x 1 , … , x n ) ∈ { 0 , 1 } n . Kami membuktikan dengan induksi (kuat) di | S | bahwa c S = 0 . Misalkan c T = 0 untuk semua | $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$$|S|$$c_S = 0$$c_T = 0$ , dan mari kita diberi satu set S kardinalitas k . Untuk semua T ⊂ S kita tahu dengan induksi yang c T = 0 , dan sebagainya 0 = f ( 1 S ) = c S , di mana 1 S adalah masukan yang 1 pada koordinat S .$|T| < k$$S$$k$$T \subset S$$c_T = 0$$0 = f(1_S) = c_S$$1_S$$1$$S$$~\qquad\square$

Klaim menunjukkan bahwa representasi multilinear dari fungsi unik (memang, f bahkan tidak harus 0 / 1 -valued). Representasi multilinear unik OR adalah 1 - ∏ i ( 1 - x i ) , yang memiliki derajat n .$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

Misalkan adalah polinomial sehingga untuk semua x ∈ { 0 , 1 } n , p ( x ) = O R ( x ) . Pertimbangkan simetri polinomial p : q ( k ) = $p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$Perhatikan bahwa, karena fungsi OR adalah fungsi boolean simetris, kami memilikinya untukk=1,2,…,n,q(k)=1, danq(0)=0. Karenaq-1adalah polinomial non-nol, dan memiliki setidaknyan0, ia harus memiliki derajat setidaknyan. Karena itu,

Symmetrization sering digunakan dalam studi tentang perkiraan tingkat fungsi boolean dan kompleksitas kueri kuantum. Lihat, misalnya, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .

Yuval dan Henry telah memberikan dua bukti berbeda dari fakta ini. Ini bukti ketiga.

$n$$n$

Klaim: Jika dua polinomial multinear, p dan q sama pada hypercube, maka keduanya sama di mana-mana.

$\{0,1\}^n$