Biarkan menjadi bidang karakteristik 0 atau setidaknya d ( d - 1 ) + 1 , dan p ∈ K [ x 1 , … , x n ] menjadi polinomial total derajat paling banyak d . Jika d adalah tetap dan n bertambah, seseorang memiliki kompleksitas sebagai berikut untuk pengurangan faktorisasi p ke faktorisasi derajat -d polinomial univariat: (Notasi ˜ O ( ⋅ )K0d(d−1)+1p∈K[x1,…,xn]ddnpdO~(⋅) mengabaikan faktor logaritmik.)
Algoritme deterministik:
- O~((n+dn)4)
- O~((n+2d−2n−1)dω)2<ω≤3
Algoritma probabilitas:
- O~((n+dn)) operasi lapangan, jika algoritma multiplikasi cepat tersedia.
Kemudian, kita harus pd sebuah univariat degree- polinomial. Kompleksitas langkah ini tidak bergantung pada lagi, sehingga batas di atas tetap valid untuk algoritma faktorisasi lengkap. Satu-satunya perbedaan adalah dalam karakteristik positif: Karena tidak ada algoritma waktu polinomial deterministik diketahui faktor polinomial univariat, bahkan pengurangan deterministik menghasilkan algoritma probabilistik. Meskipun demikian, jika benar-benar tetap dan kecil, seseorang dapat mengganti algoritma polinomial-waktu probabilistik dengan yang waktu-eksponensial deterministik.n ddnd
Perhatikan bahwa batas probabilistik optimal hingga faktor logaritmik karena adalah ukuran dari memasukkan.(n+dO~((n+dn))(n+dn)
Rincian lebih lanjut dapat ditemukan dalam makalah Algoritma faktorisasi polinomial polinomial multivariat padat yang ditingkatkan dari Grégoire Lecerf ( tautan tanpa paywall ).
Referensi lain, terutama untuk bidang dengan karakteristik kecil, adalah EL Kaltofen & G. Lecerf, Faktorisasi polinomial multivariat ( tautan tanpa paywall ), bab 11.5 dari GL Mullen dan D. Panario, editor, Handbook of the finite field .
¹ Hasilnya perlu mengasumsikan bahwa .ω>2