Gower “mendiskritkan penentuan Borel” pendekatan

Gower baru-baru ini menguraikan masalah, yang ia sebut "penentuan determinasi Borel," yang solusinya terkait dengan membuktikan batas bawah sirkuit.

1. Dapatkah Anda memberikan ringkasan dari pendekatan yang disesuaikan dengan audiens yang terdiri dari para ahli teori kompleksitas?

2. Apa yang diperlukan untuk pendekatan ini untuk membuktikan sesuatu , termasuk membuktikan kembali batas bawah yang dikenal?

Biarkan saya memberikan ringkasan pemahaman saya tentang motivasi untuk pendekatan ini. Berhati-hatilah bahwa saya cukup baru dalam konsep penentuan Borel, dan sama sekali tidak ahli dalam teori himpunan. Semua kesalahan adalah milikku. Juga saya tidak yakin membaca ini jauh lebih baik daripada membaca posting Gower.

Saya pikir apa yang ada dalam pikiran Gower bukanlah analog finit dari teorema determinasi Borel, tetapi analog finitatif dari yang berikut: Determinasi borel berasal dari ZFC, sementara determinasi game analitik memerlukan keberadaan (pada dasarnya) kardinal yang terukur. Saya akan menjelaskan secara singkat game apa yang sedang kita bicarakan dan apa determinasi Borel, dan kemudian saya akan mengikat ini dengan pendekatan untuk membuktikan batas bawah. Ide tingkat sangat tinggi adalah untuk mempertimbangkan properti "memungkinkan analog finitari dari bukti determinasi Borel untuk bekerja" sebagai properti yang dapat memisahkan P \ poly dari NP.

Kami memikirkan permainan di mana dua pemain I dan II bergiliran "memainkan" bilangan bulat. Permainan berlangsung selamanya, sehingga mereka menghasilkan urutan . Permainan ditentukan oleh set kemenangan A ⊆ N N (yaitu serangkaian sekuens). Jika x ∈ A maka pemain I menang, sebaliknya pemain II menang.$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

Sebuah permainan ditentukan jika salah satu pemain I atau pemain II memiliki strategi kemenangan: cara untuk memutuskan langkah selanjutnya berdasarkan permainan sejauh ini yang menjamin kemenangan. Apakah semua game ditentukan ternyata memiliki koneksi intim dengan dasar-dasar teori himpunan (tidak, jika Anda percaya pada aksioma pilihan). Dalam kasus apapun, salah satu contoh sederhana ketika game sebenarnya ditentukan adalah ketika terbuka di topologi produk pada N N , yang merupakan cara mewah untuk mengatakan bahwa keanggotaan x ∈ A dapat diputuskan hanya berdasarkan jumlah terbatas elemen $A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$. Misalnya permainan di mana pemain saya menang jika dia yang pertama memainkan angka genap terbuka. Contoh sederhana lain dari game yang ditentukan adalah game tertutup, yaitu game di mana dapat diputuskan berdasarkan pada x . Game tertutup adalah game terbuka dengan peran pemain terbalik.$x \not \in A$$x$

Sekarang kita bisa sampai pada determinasi Borel, dan tepat setelah saya akan mencoba untuk mengikat ini dengan sirkuit dan kompleksitas. Set Borel adalah set yang dapat diturunkan dari set terbuka dan tertutup dengan berulang kali menerapkan jumlah serikat dan persimpangan yang dapat dihitung. Anda harus menganggap set terbuka dan tertutup sebagai set dasar Anda, dan set Borel berasal dari set dasar menggunakan beberapa level sejumlah kecil "(" dihitung) jumlah operasi sederhana di setiap level. Ternyata Anda dapat membuktikan di ZFC bahwa set Borel ditentukan, dan ada perasaan yang tepat di mana ini adalah yang terbaik yang dapat Anda lakukan.

Analogi yang saya pikir Gowers menggambar di sini adalah bahwa set Borel seperti sirkuit kecil. Di dunia yang terbatas, kita mengganti "semesta" dengan hypercube { 0 , 1 } $\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Sekarang ia mengambil inspirasi dari bukti determinasi Borel untuk menghasilkan properti (dalam pengertian Razborov-Rudich) untuk membedakan fungsi kompleksitas sirkuit kecil dari fungsi kompleksitas sirkuit besar. Harapan tentu saja adalah bahwa properti tersebut menghindari penghalang bukti alami.

$\pi$$\pi$mempertahankan strategi kemenangan - sebut saja ini "lift". Jadi yang ditunjukkan Martin adalah bahwa setiap permainan Borel adalah gambar dari permainan di mana set kemenangan adalah set dasar. Karena permainan terbuka mudah dilihat ditentukan, ini membuktikan tekad Borel. Buktinya induktif, dengan kasus dasar menunjukkan bahwa game tertutup dapat dicabut. Bagian penting adalah bahwa setiap langkah induksi "meledakkan" alam semesta: menyingkirkan satu tingkat konstruksi perangkat Borel memerlukan pengangkatan game ke game di atas alam semesta yang pada dasarnya adalah set daya alam semesta dari game asli . Menariknya, ini tidak dapat dihindari: Borel set yang membutuhkan lebih banyak level untuk didefinisikan hanya dapat diangkat ke gim di atas semesta yang jauh lebih besar. Perangkat analitik memerlukan semesta yang begitu besar, sehingga keberadaannya membutuhkan aksioma kardinal yang besar.

$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

$y \in U$$U$$2^n$$y$

$f$